| 多边形及其内角和 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识归纳
1、多边形：在同一平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形．
如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．
2、正多边形：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形．
3、n边形的内角和等于(n－2)·180°．多边形的外角和等于360°．
4、对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线．
从n边形的一个顶点出发有(n－3)条对角线，n边形共有
条对角线．
二、例题讲解
例1、（1）如图所示，等边△ABC的边长为1cm，D、E分别是AB、AC上的点，将△ADE沿直线DE折叠，点A落在点A′处，且点A′在△ABC外部，则阴影部分图形的周长为___________cm．
（2）如图，△ABC、△ADE及△EFG都是等边三角形，D和G分别为AC和AE的中点，若AB=4，则图形ABCDEFG外围的周长是（ ）
A．12 B．15
C．18 D．21
答案：（1）3 （2）B
例2、（1）若一个多边形内角和等于1260°，则该多边形边数是_________．
（2）若一个正多边形的每一个外角都是30°，则这个正多边形的内角和等于_________度．
（3）一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°．这个多边形的边数是（ ）
A．5 B．6
C．7 D．8
（4）一个多边形的每个外角都相等，且比它的内角小140°，这个多边形是_________边形．
（5）过多边形的一个顶点可以引9条对角线，那么这个多边形的内角为（ ）
A．1620° B．1800°
C．1980° D．2160°
答案：
（1）9 （2）1800 （3）C （4）十八 （5）B
例3、（1）如图，分别以四边形ABCD的四个顶点为圆心，半径为R作四个互不相交的圆，则图中阴影部分的面积之和是_________．
（2）如图，小亮从A点出发前进10m，向右转15°，再前进10m，又向右转15°，……，这样一直走下去，他第一次回到出发点A时，一共走_________m．
答案：
（1）πR2 （2）240
例4、四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C=3∶2∶1，∠A=∠D．求这个四边形四个内角的度数．
答案：
∠A=120°，∠B=80°，∠C=40°，∠D=120°
例5、已知两个多边形的内角总和为1800°，且两多边形的边长之比为2∶5．求这两个多边形的边数．
答案：
设两个多边形的边数分别为2x和5x，
（2x-2）·180°+（5x-2）·180°=1800°
得x=2．
2x=4，5x=10．
所以这两个多边形的边数分别为4和10．
例6、一个同学在进行多边形内角和计算时，求得内角和为2750°，当发现错了之后，重新检查，发现少加了一个内角．问这个内角是多少度？求这个多边形的边数．
解：
设这个内角是α度，这个多边形的边数为n，则
(n－2)·180°=2750°＋α，
∴n－2=15＋
．
∵n－2是正整数且0<α<180°，
∴α=130°，n=18．
∴这个内角是130°，这个多边形的边数是18．
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