| 实际问题与二元一次方程组（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、知识归纳
1、列二元一次方程组解应用题的一般步骤可概括为“审、找、列、解、答”五步，即：
（1）审：通过审题，把实际问题抽象成数学问题，分析已知数和未知数，并用字母表示其中的两个未知数；
（2）找：找出能够表示题意两个相等关系；
（3）列：根据这两个相等关系列出必需的代数式，从而列出方程组；
（4）解：解这个方程组，求出两个未知数的值；
（5）答：在对求出的方程的解做出是否合理判断的基础上，写出答案（包括单位名称）．
2、列方程组解应用题的常见题型
（1）和差倍总分问题：较大量＝较小量＋多余量，总量＝倍数×倍量
（2）产品配套问题：加工总量成比例
（3）行程问题：路程＝时间×速度
①相遇问题：路程和＝相遇时间×速度和
②追及问题：路程差＝追及时间×速度差
（4）航速问题：此类问题分为水中航速和风中航速两类
①顺流（风）：航速＝静水（无风）中的速度＋水（风）速
②逆流（风）：航速＝静水（无风）中的速度－水（风）速
（5）工程问题：工作量＝工作效率×工作时间
一般分为两种，一种是一般的工程问题；另一种是工作总量是单位1的工程问题
（6）增长率问题：原量×（1＋增长率）＝增长后的量，原量×（1＋减少率）＝减少后的量
（7）浓度问题：溶液×浓度＝溶质
（8）银行利率问题：
免税利息＝本金×利率×时间
税后利息＝本金×利率×时间—本金×利率×时间×税率
（9）利润问题：利润＝售价—进价，利润率＝（售价—进价）÷进价×100%
（10）盈亏问题：关键从盈（过剩）、亏（不足）两个角度把握事物的总量
（11）数字问题：首先要正确掌握自然数、奇数偶数等有关的概念、特征及其表示
（12）几何问题：必须掌握几何图形的性质、周长、面积等计算公式
（13）年龄问题：抓住人与人的岁数是同时增长的
二、例题讲解
例1、（1）一船顺水航行45千米需要3小时，逆水航行65千米需要5小时，若设船在静水中的速度为x千米/时，水流的速度为y千米/时，则x，y的值为（ ）
A．x＝13，y＝2 B．x＝14，y＝1
C．x＝15，y＝1 D．x＝14，y＝2
（2）某学生骑自行车从学校去县城，先以每小时12千米的速度下山，而后以每小时9千米的速度通过平路到达县城，共用去55分钟；返回时，他以每小时8千米的速度通过平路，再以每小时4千米的速度上山回到学校，用去1小时30分钟，学校到县城的距离是__________．
（3）甲、乙两人在200米的环形跑道上练竞走，当他们都从某处同时出发背向行走时每30秒钟相遇一次；同向行走时，每隔4分钟相遇一次，则两人的速度分别为__________．
答案：
（1）B
（2）解：设坡路为x千米，平路为y千米．
依题意有方程组
解得
所以学校到县城的路程为x＋y＝9千米．
（3）设甲、乙二人的速度分别为x米/分，y米/分．
则
，解之得
所以甲、乙两人的速度分别是225米/分、175米/分．
例2、（1）王阿姨和李奶奶一起去超市买菜，王阿姨买西红柿、茄子、青椒各1kg，共花12.8元，李奶奶买西红柿2kg、茄子1.5kg，共花15元，已知青椒每千克4.2元，请你求出每千克西红柿、茄子各多少元?
（2）在当地农业技术部门指导下，小明家增加种植菠萝的投资，使今年的菠萝喜获丰收，下面是小明爸爸、妈妈的一段对话．
请你用学过的知识帮助小明算出他们家今年菠萝的收入．（收入－投资＝净赚）
答案：
（1）4.2 4.4
（2）解：设去年收入为x元，投资为y元，则
所以今年的收入为(1＋35%)x=12000×1.35=16200（元）．
例3、（1）“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12％，玉米超产10％，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨?
（2）某公司接受一批产品定货，按定额预计划30天可以完成，经管理改革和技术革新后，劳动生产效率提高了120％，结果提前16天完成任务，并超产32件，求该公司接受的加工任务是多少件?原来每天的定额是多少件?
答案：
（1）解：设去年实际生产小麦x吨，玉米y吨，则
1.12x＝11.2，1.1y＝8.8．
所以该专业户去年实际生产小麦11.2吨，生产玉米8.8吨．
（2）解：设该公司接受的加工任务为x件，原来每天的定额是y件，则
所以该公司接受的加工任务为1200件，原来每天的定额是40件．
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