| 等边三角形 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形．
二、性质：
1、具有等腰三角形所有性质．
2、等边三角形三边、三内角分别相等，且每一个内角都等于60°．
三、判定：
1、利用定义．
2、证三个角都相等．
3、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形．
四、直角三角形性质
在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．
例1、如图，等边△ABC中，BD=CE，AD与BE交于点P．求∠APE的度数．
解：
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠ABC=∠C=60°．
在△ABD和△BCE中，
∴△ABD≌△BCE（SAS），
∴∠1=∠2，
∴∠APE=∠3＋∠1=∠3＋∠2=60°．
总结：若在等边三角形两边上截取相等的线段，则构造的三角形全等．
变式：如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD、BE交于点P，BQ⊥AD于Q，PQ=3，PE=1．求AD的长．
解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°，
在△ABE和△CAD中，
∴△ABE≌△CAD（SAS），
∴BE=AD，∠1=∠2，
∴∠4=∠2＋∠3=∠1＋∠3=60°．
又BQ⊥AD，∴∠5＝30°，
∴BP=2PQ=6，
∴AD=BE=BP＋PE=7．
例2、如图，△ABC为等边三角形，延长BA到E，使AE=BD．求证：CE=DE．
证明：延长BD至F，使DF=BC，连EF，
∵△ABC是等边三角形，
∴AB=BC，∠B=60°，
∴DF=AB，
∵AE=BD，
∴AB＋AE=BD＋DF，
∴BE=BF．
∴△BEF是等边三角形，
∴BE=FE，∠B＝∠F=60°．
在△EBC和△EFD中，
∴△EBC≌△EFD（SAS），（视频中△EDF应写成△EFD）
∴CE=DE．
例3、如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠1=30°，分别以AB、AC为边向形外作等边△ABD和等边△ACE，连DE交AB于F．求证：DF=FE．
证明：
过D作DG⊥AB于G．
∵△ABD和△ACE是等边三角形，
∴AD=AB，AC=AE，∠2=60°，
而DG⊥AB，∴∠5＝30°．
在△DGB和△ACB中，
∴△DGB≌△ACB（AAS），
∴DG=AC，
∴DG=AE．
∵∠1＝30°，∠2＝60°，
∴∠EAF＝90°．
在△AEF和△GDF中，
∴△AEF≌△GDF（AAS），
∴DF=FE．
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