| 平方根 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、算术平方根
若x2=a，且x≥0，则x叫做a的算术平方根，记作：
，算术平方根等于本身的数有0和1．
二、平方根
若x2=a，则x叫做a的平方根，记作：
，平方根等于本身的数只有0．
注意：①只有非负数才具有平方根和算术平方根；
②正数的平方根有两个，它们互为相反数，0的算术平方根和平方根都是0；
③平方与开平方互为逆运算．
三、算术平方根性质
1、双重非负性：对于
，a≥0且
≥0．
2、(
)2=a(a≥0)；
．
四、例题讲解
例1、求下列各式的值．
注意：
这类问题主要弄清楚题目要求什么，然后结合定义求解即可．另外，
表示a的算术平方根的相反数．
变式：
的算术平方根是_________；
的平方根是_________．
解：
∵
=6，∴
的算术平方根是
．
∵
，∴
的平方根是
．
注意：解决此类问题要仔细读题，弄清题目求谁的算术平方根或平方根！
例2、5－
的整数部分、小数部分分别为a、b，则a=_________，b=_________．
分析：
∵2<
<3，∴－3<
<－2，∴2<5－
<3，
∴a=2，b=5－
－2=3－
．
说明：
解决此类问题的关键是找到
的取值范围，即介于哪两个相邻整数间，从而解决问题．
例3、请你观察思考下列计算过程：
∵112=121，∴
=11；同样，1112=12321，∴
=111，…
由此猜想
=___________．
分析：
由已知可以看出结果中“1”的个数与其平方后结果中间的数是一致的，故结果为
．
变式：已知
；…
(1)根据上述规律，请你猜想：
=___________；
(2)猜想
=___________,并证明你的结论．
解：
(1)3333；
(2)
，证明如下：
设
=m×10n＋m=m(9m＋1)＋m，
，
∴原式=
．
总结：解决此类问题要擅于从条件中发现规律，证明时注意合理选择方法．
例4、a的两个平方根是方程3x＋2y=2的一组解，求：
(1)a的值；
(2)a2的平方根．
解：
(1)由已知得
∴a=4．
(2)
．
总结：正数的平方根有两个，它们互为相反数．
例5、若
，求yx的平方根．
解：
∵
，
∴x=2，∴y=－6，
．
变式：已知
，化简|b－2|＋|3b－1|＋
．
解：
∵
，
∴a=3，∴b<
，b-2＜0,3b-1＜0
∴原式=2－b＋1－3b＋3=6－4b．
总结：抓住
中的a≥0是解题的关键．
例6、已知
互为相反数，求xy的算术平方根．
总结：
本题利用了算术平方根本身的非负数这个性质，n个非负数的和为0，当且仅当它们各自为0时成立．如
，则有a=0，b=0，c=0．
变式：若m(m≥0)，n满足
，试求x的取值范围．
总结：
求x的取值范围需要得到关于x的不等式(组)，结合题目想到建立二元一次方程组，求出
和|n|的表达式，再利用结果是非负数即可建立不等式组．
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