| 一次函数与二元一次方程（组） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一次函数与二元一次方程
1、以二元一次方程ax＋by=c的解为坐标的点组成的图象与一次函数
的图象相同．
2、二元一次方程组
的解可以看作是两个一次函数
的图象的交点．
例1、在同一直角坐标系中，直线l1：y=（k－2）x＋k和l2：y=kx的位置可能是（ ）
分析：
利用两直线经过的象限及k的符号，排除A，利用两直线的交点
，可知只有B符合题意．
例2、求证：不论k为何值，一次函数（2k－1）x－（k＋3）y－（k－11）=0的图象恒过一定点．
证明：
分别令k=1，k=2得：
即原函数一定过（2，3）这点．
方法二：证明：原方程可化为：
（2x－y－1）k=x＋3y－11
即该一次函数图象过定点（2，3）．
例3、已知一次函数y=2x－a与y=3x－b的图象交于x轴原点外一点，求
．
解：
分别令y=2x－a，y=3x－b中y=0，得
，
由已知得：
，∴3a=2b
.
例4、求一次函数图象l1：y=2x＋2，l2：y=－x＋5与x轴围成的三角形面积．
解：
如图，设l1、l2与x轴交点分别为B、C，l1与l2的交点为A，
∴B（－1，0），C（5，0），∴BC=6.
变式：如图，已知直线y=x＋3的图象与x，y轴交于A，B两点，直线l经过原点，与线段AB交于点C，把△AOB的面积分为2︰1的两部分．求直线l的解析式．
解：
分别令y=x＋3中x=0，则y=3，y=0，则x=－3，
∴A（－3，0），B（0，3），
∴OA=3，OB=3，
．
①若S△BOC∶S△AOC=2∶1，
，∴xC=－2．
令y=x＋3中x=－2（视频中书写有误，应为－2），则y=1．
∴C（－2，1）.
∴l的解析式为
．
②若S△BOC∶S△AOC=1∶2，
，∴xC=－1．
令y=x＋3中x=－1，则y=2．∴C（－1，2）.
∴l的解析式为：y=－2x．
综上：l的解析式为
或y=－2x．
例5、一巡逻艇和一货轮同时从A港口前往相距100千米的B港口，巡逻艇和货轮的速度分别为100千米/时和20千米/时，巡逻艇不停地往返于A、B两港口进行巡逻，且调头时间忽略不计．
（1）货轮从A港口出发直至B港口，与巡逻艇一共相遇了几次？
（2）出发多长时间巡逻艇与货轮第三次相遇，此时离A港口多远？
解：两船离A港口的距离y km与出发时间x h之间的函数图象如图所示．
（1）由图象知：一次相遇4次．
（2）设巡逻艇和货轮离A港口的距离y km与出发时间x h之间的函数分别为：y=k1x＋b(3≤x≤4)，y=k2x(0≤x≤5)
将（3，100），（4，0）代入y=k1x＋b得：
∴y=－100x＋400(3≤x≤4)，
将（5，100）代入y=k2x得：100=5k2，∴k2=20，∴y=20x.
联立
，
即出发
第三次相遇，此时离A港口
．
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