| 三角形全等的判定（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
判定三角形全等的条件：
1、SSS：三边对应相等．
2、SAS：两边和它们的夹角对应相等．
3、ASA：两角和它们的夹边对应相等．
4、AAS：两角和其中一角的对边对应相等．
说明：①全等三角形判定的基本思路．
1、已知条件是两个角对应相等，找任意一组对应边相等，即可选用ASA或AAS．
2、已知条件是两边对应相等，找夹角对应相等或第三边对应相等，即可选用SAS或SSS．
3、已知条件是一边和一角对应相等的，找夹角的另一边对应相等或另一角对应相等，即可选用SAS、AAS、ASA．
②不能作为全等的判定条件．
1、AAA：说明形状一样，但大小不一定一样．
2、SSA：两边和一边的对角对应相等，反例如图．
△ABD和△ABC中，AB=AB，AD=AC，∠B=∠B，但△ABD和△ABC不全等．
例1、如图，在△ABC和△DBC中，∠ACB=∠DBC=90°，E是BC的中点，EF⊥AB，垂足为F，且AB=DE．
求证：（1）BD=BC；
（2）若BD=8，求AC的长．
证明：
（1）∵∠ACB=90°，EF⊥AB，
∴∠1＋∠2=90°，∠1＋∠A=90°，
∴∠2=∠A．
在△ACB和△EBD中，
∴△ACB≌△EBD（AAS），
∴BD=BC．
（2）由（1）得：△ACB≌△EBD（AAS），
∴AC=EB，BD=BC，
∴BC＝8，
∵E是BC中点，
∴EB=
=4，
∴AC=4．
说明：
利用全等三角形是证明线段（或角）相等的常用方法，包括证明平行、垂直以及求线段长或角度大小的问题，都可利用全等三角形．
例2、如图，在△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的中线，BD、CE相交于点O．求证：OB=OC．
证明：
∵BD、CE分别是AC、AB边上的中线，
∴AE=BE=
，AD=CD=
．
又∵AB=AC，
∴AE=BE=AD=CD．
在△ABD和△ACE中，
∴△ABD≌△ACE（SAS），
∴∠3=∠4．
在△EOB和△DOC中，
∴△EOB≌△DOC（AAS），
∴OB=OC．
说明：证明线段或角相等时，如果直接证明所在三角形全等缺少条件，一般可以先证明其它三角形全等来得到相关条件．
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，BD=CF．求证：DE=EF．
证明：
过D作DG//AF交BC于G．
∵DG//AF，
∴∠3=∠4，∠5=∠F，
∵AB=AC，
∴∠B=∠3，
∴∠B=∠4，
∴DB=DG．
而BD=CF，
∴DG=CF．
在△DGE和△FCE中，
∴△DGE≌△FCE（AAS），
∴DE=EF．
说明：要证的相等的线段所在的三角形如果不全等，可考虑通过添加辅助线构造全等的三角形．
例4、如图，已知AC//BD，EA、EB分别平分∠CAB和∠DBA，CD过E点．求证：AB=AC＋BD．
证明：
延长AC至F，使AF=AB，连EF．
∵AE、BE分别平分∠CAB和∠DBA，
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
在△AFE和△ABE中，
∴△AFE≌△ABE（SAS），
∴EF=EB，∠F=∠3，
∴∠F=∠4，
∵AC//BD，
∴∠5=∠D．
在△FCE和△BDE中，
∴△FEC≌△BED（AAS），
∴CF=BD．
∴AB=AF=AC＋CF=AC＋BD．
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