1、如图．已知AD是△ABC的中线，在AD及其延长线上截取DE=DF，连CE、BF．
求证：BF//CE．
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1、证明：∵AD为中线，∴BD=CD．
在△BDF和△CDE中，
∴△BDF≌△CDE(SAS)，
∴∠F=∠CED，
∴BF//CE．
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2、已知：如图，AE=CF，AD//BC，AD=CB．求证：△ADF≌△CBE．
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2、证明：∵AE=CF，
∴AE－EF=CF－EF，即AF=CE．
又∵AD//CB（已知），∴∠A=∠C．
在△ADF和△CBE中，
∴△ADF≌△CBE(SAS)．
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3、如图，AB=AD，AC平分∠DAB，求证：△DEC≌△BEC．
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3、证明：∵AE平分∠DAB，∴∠DAC=∠BAC，
在△ACD和△ACB中，
∴△ACD≌△ACB(SAS)，
∴DC=BC，∠DCE=∠BCE．
在△DEC和△BEC中，
∴△DEC≌△BEC(SAS)．
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4、如图，BE、CF是△ABC的高，且BP=AC，CQ=AB．求证：AP⊥AQ．
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4、证明：∵BE⊥AC，CF⊥AB，
∴∠ABP＋∠BAC=90°，∠ACF＋∠BAC=90°，
∴∠ABP=∠ACF．
在△ABP和△QCA中，
∴△ABP≌△QCA(SAS)，
∴∠2=∠Q．
又∵QF⊥AB，∴∠Q＋∠1=90°，
∴∠2＋∠1=90°，
即∠QAP=90°，∴AP⊥AQ．
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5、如图，已知AC、BD相交于O，OA=OB，OC=OD．求证：△ABC≌△BAD．
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5、证明：在△AOD和△BOC中
∴△AOD≌△BOC(SAS)．
∴AD=BC，∠1=∠2．
又∵OA=OB，OC=OD，∴AC=BD．
在△ABC和△BAD中，
∴△ABC≌△BAD(SAS)．
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6、如图，CD⊥AB于D点，BE⊥AC于E点，BE、CD交于点O，且AO平分∠BAC．求证：OB=OC．
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6、证明：∵AO平分∠BAC，∴∠BAO=∠CAO．
在△ADO和△AEO中，
∴△ADO≌△AEO(AAS)，
∴OD=OE．
在△OBD和△OCE中，
∴△OBD≌△OCE(ASA)，
∴OB=OC．
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7、如图，AB=AC，AD=AE，AB、DC相交于M，AC、BE交于点N，∠1=∠2．
求证：AM=AN．
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7、证明：∵∠1=∠2，∴∠1＋∠3=∠2＋∠3，
即∠DAC=∠EAB．
在△ADC和△AEB中，
∴△AEB≌△ADC(SAS)，
∴∠E=∠D．
在△ADM和△AEN中，
∴△ADM≌△AEN(ASA)，
∴AM=AN．
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8、如图，在△ABC中，AC⊥BC，AC=BC，D为AB上一点，AF⊥CD交CD的延长线于F，BE⊥CD于E．求证：EF=CF－AF．
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8、证明：∵AC⊥BC，AF⊥FC，
∴∠ACB=90°，∠F=90°，
即∠ACF＋∠BCE=90°．
∵BE⊥FC，∴∠BEC=90°，
∴∠ACF=∠CBE．
在△AFC和△CBE中，
∴△ACF≌△CBE，∴AF=CE．
又EF=CF－CE，∴EF=CF－AF．
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9、如图，AD//BC，AB//DC，MN=PQ．求证：DE=BE．
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9、证明：∵AD//BC，AB//DC，
∴∠ADB=∠DBC，∠ABD=∠BDC，
又∵BD=BD，∴△ABD≌△CDB(ASA)，
∴AD=BC．①
在△AMN和△CQP中，
∴△AMN≌△CQP（ASA），∴AM=CQ．②
由①②得，MD=QB，在△MDE和△QBE中，
∴△MDE≌△QBE（AAS），∴DE=BE．
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10、如图，BD是△ABC的中线，CE⊥BD于E，AF⊥BD，交BD的延长线于F．
(1)试探索BE、BF和BD三者之间的数量关系，并加以证明．
(2)连结AE，CF．求证：AE//CF．
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10、（1）证：△ADF≌△CDE得ED=DF，故BD=BE＋ED=BE＋DF=BE＋BF－BD，
即BE＋BF=2BD．
（2）由△CED≌△ADF得ED=DF，再证△AED≌△CDF，得∠EAD=∠FCD，
故AE//CF． |
