| 整式的乘法（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、单乘单：把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．
二、单乘多：用单项式乘多项式的每一项，再把所得的积相加．
三、多乘多：先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．
四、例题解析
例1、计算：
①
②(－2a2)·(3ab2－5ab3)
③（2x＋5y）（3x－2y）
④（3x＋1）（2x－3）－（6x－5）（x－4）
解：
．
②原式=－2a2·3ab2＋（－2a2）·（－5ab3）=－6a3b2＋10a3b3．
③原式=2x(3x－2y)＋5y(3x－2y)=6x2－4xy＋15xy－10y2=6x2＋11xy－10y2．
④原式=6x2＋2x－9x－3－（6x2－24x－5x＋20）
=22x－23．
例2、求证：52·32n＋1·2n－3n·6n＋2能被13整除．
解：
原式=25×32n＋1×2n－3n×2n＋2×3n＋2
=25×32n＋1×2n－12×32n＋1×2n
=13×32n＋1×2n
而32n＋1×2n为正整数，故原式能被13整除．
变式：已知3n＋11m能被10整除，试证：3n＋4＋11m＋2也能被10整除．
证明：
原式=81×3n＋121×11m=80×3n＋120×11m＋（3n＋11m）
=10（8×3n＋12×11m）＋（3n＋11m）
∵8×3n＋12×11m为正整数，3n＋11m能被10整除．
∴原式能被10整除．
例3、已知x2＋x－1=0，求x3－2x＋2008的值．
解：
∵x2＋x－1=0，∴x2=1－x
∴原式=x·x2－2x＋2008
=x（1－x）－2x＋2008
=－x2－x＋2008
=－（x2＋x）＋2008
=－1＋2008
=2007．
例4、若（x2＋nx＋3）（x2－3x＋m）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．
解：
原式=x4＋（n－3）x3＋（3－3n＋m）x2＋（mn－9）x＋3m．
由已知得：
．
例5、设M=（a4＋2a2＋1）（a4－2a2＋1），N=（a4＋a2＋1）（a4－a2＋1），其中a是不为0的有理数，试比较M与N的大小．
解：
设a4＋a2＋1=A，
则M=（A＋a2）（A－3a2）=A2－2a2A－3a4，
N=A（A－2a2）=A2－2a2A．
∴M－N=A2－2a2A－3a4－A2＋2a2A=－3a4．
而a≠0，∴M－N＜0，即M＜N．
变式：计算：（a1＋a2＋…＋an－1）（a2＋a3＋…＋an－1＋an）－（a2＋a3＋…＋an－1）·（a1＋a2＋…＋an）．
解：
设a2＋a3＋…＋an－1=A，
则原式=（a1＋A）（A＋an）－A（A＋a1＋an）
=A2＋（a1＋an）A＋a1an－A2－（a1＋an）A
=a1an．
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