| 乘法公式（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、平方差公式：
（a＋b）（a－b）=a2－b2
即：两个数的和与这两个数的差的积等于这两个数的平方差．
二、例题讲解
例1、计算：
①（a－2b）（a＋2b）
②（x－2y）（－x－2y）
③（x2＋y2）（x2－y2）
④（a＋b＋c）（a－b－c）
⑤（a－b＋c）（－a＋b＋c）
⑥（3m2＋5）（－3m2＋5）－m2（7m＋8）（7m－8）－（8m）2
解：
①原式=a2－（2b）2=a2－4b2．
②原式=（－2y＋x）（－2y－x）=（－2y）2－x2=4y2－x2．
③原式=（x2）2－（y2）2=x4－y4．
④原式=[a＋（b＋c）][a－（b＋c）]=a2－（b＋c）2
=a2－（b2＋2bc＋c2）=a2－b2－2bc－c2．
⑤原式=（c＋a－b）（c－a＋b）=[c＋（a－b）][c－（a－b）]
=c2－（a－b）2=c2－（a2－2ab＋b2）=c2－a2＋2ab－b2．
⑥原式=25－（3m2）2－m2（49m2－64）－64m2
=25－9m4－49m4＋64m2－64m2
=25－58m4．
变式：计算：
①98×102；②1.01×0.99；③1232－124×122；④99×101×10001；
⑤38.52－36.52＋34.52－32.52；⑥
解：
①原式=（100－2）（100＋2）=1002－22=9996．
②原式=（1＋0.01）（1－0.01）=1－0.012=0.9999．
③原式=1232－（123＋1）（123－1）=1232－（1232－12）=1．
④原式=（100－1）（100＋1）×10001
=（1002－12）×10001
=（10000－1）（10000＋1）
=100002－12
=99999999．
⑤原式=（38.5＋36.5）（38.5－36.5）＋（34.5＋32.5）（34.5－32.5）
=75×2＋67×2
=284．
例2、计算：1002－992＋982－972＋…＋22－12．
解：
原式=（100＋99）（100－99）＋（98＋97）（98－97）＋…＋（2＋1）（2－1）
=100＋99＋98＋97＋…＋2＋1
=5050．
变式练习：
计算：
．
例3、已知a2－b2=8，a＋b=4，求a、b的值．
解：
∵a2－b2=（a＋b）（a－b），∴a－b=2．
．
例4、若正整数x，y满足x2－y2=64，则这样的正整数（x，y）共__________组．
解：
由已知得：（x＋y）（x－y）=64，
而x＋y、x－y奇偶性相同，
且x＋y＞x－y．
则这样的正整数（x，y）共2组．
变式：
1，2，3，…，98共98个自然数中，能够表示成两整数的平方差的个数是__________．
解：
设x=m2－n2=（m＋n）（m－n）（1≤n＜m≤98，m，n为整数）．
∵m＋n、m－n奇偶性相同，
∴x为奇数或4的倍数．
而98个数中奇数共49个，4的倍数共有24个，故符合题意的共73个．
例5、有10位乒乓球选手进行单循环赛，用x1、y1顺次表示第一号选手胜与负的场数，用x2，y2顺次表示第二号选手胜与负的场数，…，用x10，y10顺次表示第十号选手胜与负的场数．求证：x12＋x22＋…＋x102=y12＋y22＋…＋y102．
解：
由已知得：xi＋yi=9（i=1，2，…，10）．
且x1＋x2＋…＋x10=y1＋y2＋…＋y10．
∵（x12＋x22＋…＋x102）－（y12＋y22＋…＋y102）
=（x12－y12）＋（x22－y22）＋…＋（x102－y102）
=（x1＋y1）（x1－y1）＋（x2＋y2）（x2－y2）＋…＋（x10＋y10）（x10－y10）
=9[（x1－y1）＋（x2－y2）＋…＋（x10－y10）]
=9[（x1＋x2＋…＋x10）－（y1＋y2＋…＋y10）]
=0．
∴x12＋x22＋…＋x102=y12＋y22＋…＋y102．
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