| 乘法公式（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
完全平方公式：（a±b）2=a2±2ab＋b2．
常用变形公式：
①a2＋b2=（a＋b）2－2ab=（a－b）2＋2ab
②
③2ab=（a＋b）2－（a2＋b2）
④4ab=（a＋b）2－（a－b）2
例1、计算：
①（3x＋4y）2；②（2a－b）2；③（－3＋2a）2；
④（－3a－2b）2；⑤（a＋b＋c）2；⑥
；
⑦（x－y＋z）2－（x＋y－z）2．
解：
①原式=（3x）2＋2×3x·4y＋（4y）2
=9x2＋24xy＋16y2．
②原式=（2a）2－2×2a·b＋b2
=4a2－4ab＋b2．
③原式=（－3）2＋2×（－3）·2a＋（2a）2
=9－12a＋4a2．
④原式=[－(3a＋2b)]2=(3a＋2b)2
=(3a)2＋2×3a×2b＋(2b)2
=9a2＋12ab＋4b2．
⑤原式=[（a＋b）＋c]2
=（a＋b）2＋2（a＋b）c＋c2
=a2＋2ab＋b2＋2ac＋2bc＋c2
=a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc．
⑦原式=（x－y＋z＋x＋y－z）（x－y＋z－x－y＋z）
=2x·（－2y＋2z）
=－4xy＋4xz．
例2、①若a＞0，
．
②若x＋y=1，x2＋y2=3，则x3＋y3的值为__________．
解：
①
，
∵a>0，∴
，∴原式=3.
②∵2xy=（x＋y）2－（x2＋y2），∴xy=－1．
∴原式=（x＋y）（x2＋y2）－xy(x＋y)=1×3－(－1)×1=4.
变式：
①设a＋b＋2c=1，a2＋b2－8c2＋6c=5，求ab－bc－ca的值．
②已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14=0，则（x－y－z）2002=__________．
③若实数a，b，c满足a2＋b2＋c2=9，则代数式（a－b）2＋（ b－c）2＋（c－a）2的最大值是__________．
解：
①由已知得：a＋b=1－2c，a2＋b2=8c2－6c＋5．
∵（a＋b）2=a2＋b2＋2ab，
∴（1－2c）2=8c2－6c＋5＋2ab．
∴ab=－2c2＋c－2．
∴原式=ab－c（b＋a）=－2c2＋c－2－c（1－2c）=－2．
②原等式可化为：
x2－2x＋1＋y2＋4y＋22＋z2－6z＋32=0．
即（x－1）2＋（y＋2）2＋（z－3）2=0．
∵（x－1）2≥0，（y＋2）2≥0，（z－3）2≥0，
∴x－1=0，y＋2=0，z－3=0，
∴x=1，y=－2，z=3．
∴原式=（1＋2－3）2002=0．
③∵（a＋b＋c）2=a2＋b2＋c2＋2ab＋2ac＋2bc，
∴2ab＋2ac＋2bc=（a＋b＋c）2－9．
∴原式=2a2＋2b2＋2c2－2ab－2bc－2ac
=18－（a＋b＋c）2＋9
=27－（a＋b＋c）2≤27．
即原式最大值27．
例3、求证：1999×2000×2001×2002＋1是一个整数的平方，并求出这个整数．
证明：
设1999=n，则原式=n（n＋1）（n＋2）（n＋3）＋1=（n2＋3n）（n2＋3n＋2）＋1
=（n2＋3n）2＋2（n2＋3n）＋1=（n2＋3n＋1）2．
∴该整数为n2＋3n＋1=(n＋1)2＋n=(1999＋1)2＋1999=4001999．
例4、若28＋210＋2n是完全平方数，则n=__________．
分析：
结合完全平方公式，28，210，2n都可以作为公式中的两数积的项，由三种情况分析知，n=4或n=10．
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