| 因式分解 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、因式分解意义
把一个多项式写成几个整式乘积的形式，这种式子的变形叫做把这个多项式因式分解．
二、因式分解的方法
1、提公因式法：ma＋mb＋mc=m（a＋b＋c）．
公因式的构成：
①系数：各项系数的最大公约数．
②字母：各项的相同字母．
③指数：相同字母的最小指数．
2、公式法：
a2－b2=（a＋b）（a－b）；
a2±2ab＋b2=（a±b）2．
3、x2＋（a＋b）x＋ab=（x＋a）（x＋b）．
三、例题讲解
例1、下列各式中由等号的左边到右边的变形，是因式分解的是（ ）
A．（x＋3）（x－3）=x2－9
B．x2＋x－5=（x－2）（x＋3）＋1
C．a2b＋ab2=ab（a＋b）
D．
答案：C
例2、把下列各式分解因式．
①4a2－8ab；
②－6x4y2＋12x3y－27x2y3；
③5（x－y）3＋10（y－x）2；
④25－16x2；
⑤9（m＋n）2－（m－n）2；
⑥a5－a；
⑦x2＋14x＋49；
⑧（m＋n）2－6（m＋n）＋9；
⑨－3ax2＋6axy－3ay2；
⑩（x2＋4）2＋8x（x2＋4）＋16x2；
（x＋y）2－4（x＋y－1）；
（x4＋1）2－（2x2）2；
（x＋y）2＋4（x－y）2－4（x2－y2）．
解：
①原式=4a（a－2b）．
②原式=－3x2y（2x2y－4x＋9y2）．
③原式=5（x－y）3＋10（x－y）2=5（x－y）2（x－y＋2）．
④原式=52－（4x）2=（5＋4x）（5－4x）．
⑤原式=[3（m＋n）]2－（m－n）2=（3m＋3n＋m－n）（3m＋3n－m＋n）
=（4m＋2n）（2m＋4n）
=4（2m＋n）（m＋2n）．
⑥原式=a（a4－1）=a（a2＋1）（a2－1）=a（a2＋1）（a＋1）（a－1）．
⑦原式=x2＋2×7x＋72=（x＋7）2．
⑧原式=（m＋n）2－2×3（m＋n）＋32=（m＋n－3）2．
⑨原式=－3a（x2－2xy＋y2）=－3a（x－y）2．
⑩原式=（x2＋4）2＋2×4x·（x2＋4）＋（4x）2
=（x2＋4＋4x）2=[（x＋2）2]2=（x＋2）4．
原式=（x＋y）2－4（x＋y）＋4=（x＋y－2）2．
原式=（x4＋1＋2x2）（x4＋1－2x2）=（x2＋1）2（x2－1）2
=（x2＋1）2（x＋1）2（x－1）2．
原式=（x＋y）2－2（x＋y）·2（x－y）＋[2（x－y）]2
=[x＋y－2（x－y）]2=（3y－x）2．
例3、分解因式：m2－n2＋2m－2n．
解：
原式=（m2－n2）＋2（m－n）=（m－n）（m＋n）＋2（m－n）
=（m－n）（m＋n＋2）．
变式：分解因式：
①4a3－4a2－a＋1；
②a2－b2＋2b－1．
解：
①原式=（4a3－4a2）－（a－1）=4a2（a－1）－（a－1）
=（a－1）（4a2－1）=（a－1）（2a＋1）（2a－1）．
②原式=a2－（b2－2b＋1）=a2－（b－1）2=（a＋b－1）（a－b＋1）．
例4、分解因式：x2＋4x＋3．
解：原式=（x2＋4x＋4）－1=（x＋2）2－1=（x＋2＋1）（x＋2－1）=（x＋3）（x＋1）．
变式：分解因式：x3－3x2＋4．
解：原式=x3＋x2－4x2＋4
=x2（x＋1）－4（x＋1）（x－1）
=（x＋1）（x2－4x＋4）=（x＋1）（x－2）2．
例5、分解因式：
（x＋y）（x＋y＋2xy）＋（xy＋1）·（xy－1）．
解：
设x＋y=a，xy=b，则
原式=a（a＋2b）＋（b＋1）（b－1）
=a2＋2ab＋b2－1=（a＋b）2－1=（a＋b＋1）（a＋b－1）
=（x＋y＋xy＋1）（x＋y＋xy－1）
=[x（1＋y）＋（y＋1）]（x＋y＋xy－1）
=（x＋1）（y＋1）（x＋y＋xy－1）．
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