| 三角形全等的判定（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、直角三角形全等的条件
斜边和一条直角边分别对应相等的两个直角三角形全等，简写成“HL”．
二、直角三角形全等的判定方法
HL、SAS、ASA、AAS．
说明：证明两Rt三角形全等时，如果已知一组边相等，可以先考虑HL，再考虑用其它判定方法．
例1、如图，已知AB=CD，DE⊥AC，BF⊥AC，且E、F在直线AC上，AE=CF．求证：AB//CD．
证明：
∵AE=CF，
∴AE＋EF=CF＋EF．
又∵E、F在直线AC上，
∴AF=CE．
∵DE⊥AC，BF⊥AC，
∴∠3=∠4=90°．
在Rt△DEC和Rt△BFA中，
∴Rt△DEC≌Rt△BFA（HL），
∴∠1=∠2，
∴AB//CD．
说明：
利用“HL”证明两直角三角形全等时，要先说明两三角形中都有90°角；在△符号前加“Rt”；斜边先写，直角边后写．
例2、如图，AB=AC，CD⊥AB，D为垂足，EE⊥AC，E为垂足，CD与BE相交于点F．求证：AF平分∠BAC．
证明：
∵CD⊥AB，BE⊥AC，
∴∠3=∠4=90°．
在△ABE和△ACD中，
∴△AEB∽△ADC（AAS），
∴AD=AE．
在Rt△ADF和Rt△AEF中，
∴Rt△ADF≌Rt△AEF（HL），
∴∠1=∠2，
即AF平分∠BAC．
说明：要证明全等的△是Rt△时，如果已经知道一组边对应相等，优先考虑利用“HL”说明它们全等．
例3、如图，AD=AC，∠ADB=∠ACB>90°．求证：∠ABC=∠ABD．
证明：
过A作AE⊥BC的延长线于E，
过F作AF⊥BD的延长线于F，
则∠E=∠F=90°．
∵∠ADB=∠ACB，
∴∠ECA=∠ADF．
在△AEC和△AFD中，
∴△AEC≌△AFD（AAS），
∴AE=AF．
在Rt△AEB和Rt△AFB中，
∴Rt△AEB≌Rt△AFB（HL），
∴∠ABC=∠ABD．
说明：
①若把∠ADB=∠ACB>90°换成都小于90°，结论仍然成立，方法一样．
②要证明全等的两个三角形如果形状不确定，我们不能用“SSA”证明它们全等，但是如果能够确定都是钝角或锐角三角形，则可以通过构造直角三角形说明它们全等．
例4、如图，∠BAC=90°，AB=AC，M是AC边的中点，AD⊥BM交BC于D，交BM于E．求证：∠AMB=∠DMC．
证明：
过C作FC⊥AC于C，交AD的延长线于F，
∵∠BAC=90°，AD⊥BM，
∴∠1＋∠3=90°，∠2＋∠3=90°，
∴∠1=∠2．
在△BAM和△ACF中，
∴△BAM≌△ACF（ASA），
∴∠6=∠F，AM=CF．
∵M是AC中点，
∴CM=AM，
∴CM=CF．
∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴∠4=45°，
∴∠5=45°．
在△DMC和△DFC中，
∴△DMC≌△DFC（SAS），
∴∠DMC =∠F，
∴∠6＝∠DMC．
即∠AMB=∠DMC．
说明：
通过构造全等三角形去证明线段、角相等是这一章难题经常碰到的，构造全等三角形的时候要注意抓住其中一个三角形的特点．
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