| 角的平分线的性质（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、角平分线的性质
角平分线上的点到角两边的距离相等．
如图．若OP平分∠AOB，PM⊥OA，PN⊥OB，垂足分别为M、N，则PM=PN．
二、基本图形
1、若O是∠ABC、∠ACB的平分线的交点，则∠BOC＝90°＋
∠A．
2、若O是∠ABC和∠ACB外角平分线的交点，则∠BOC＝
∠A．
3、若O是∠ABC、∠ACB的外角平分线的交点，则∠BOC＝90°－
∠A．
三、例题讲解
例1、如图，OD平分∠AOB，在OA、OB边上取OA=OB，PM⊥BD，PN⊥AD，垂足分别为M、N．求证：PM=PN．
证明：
∵OD平分∠AOB，
∴∠3=∠4．
在△OBD和△OAD中，
∴△OBD≌△OAD（SAS），
∴∠1=∠2．
又∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN．
说明：涉及到过一点证明到角两边距离相等的问题可结合角平分线性质，不必要用全等．
例2、如图，在△ABC中，∠B=60°，∠A、∠C的角平分线AE、CF交于点O．求证：OE=OF．
证明：
分别过O作OM⊥AB于M，ON⊥BC于N，OP⊥AC于P．
∵AE、CF分别平分∠BAC、∠BCA，OM⊥AB，ON⊥BC，OP⊥AC，
∴OM=OP=ON，∠1=
∠BAC，∠2=
∠BCA．
∵∠BAC＋∠BCA=180°－∠B=120°，
∴∠1＋∠2=
(∠BAC＋∠BCA)=60°，
∴∠AOC=120°，（视频中∠BOC应为∠AOC）
∴∠EOF=120°．
∵OM⊥AB，ON⊥BC，∠B=60°，
∴∠MON=120°，
∴∠FOM=∠EON．
在△FOM和△EON中，
∴△FOM≌△EON（ASA），
∴OE=OF．
说明：有角平分线条件的几何题，如果要添加辅助线，可考虑过角平分线上一点作角两边的垂线．
例3、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD．求证：∠BAP＋∠BCP=180°．
证明：
过P作PM⊥BA于M．
∵∠1＝∠2，PM⊥BA，PD⊥BC，
∴PM=PD．
在△BMP和△BDP中，
∴△BMP≌△BDP（AAS），
∴BM=BD．
∵AB＋BC=2BD，BC=BD＋DC，
∴AB＋DC=BD，
而BM＝AB＋AM，
∴AM=DC．
在Rt△AMP和Rt△CDP中，
∴△AMP≌△CDP（SAS），
∴∠3=∠4，
而∠BAP＋∠3=180°，
∴∠BAP＋∠4=180°
即∠BAP＋∠BCP=180°．
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