中考解析 |
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例1、如图，已知∠1=∠2，P为BN上一点，且PD⊥BC于D，AB＋BC=2BD，求证：∠BAP＋∠BCP=180°. 分析： 要证明两个角的和是180°，可把它们移到一起，证它们是邻补角即可，由PD⊥BC，∠1=∠2，联想到过P作BA的垂线PE，有PE=PD，BE=BD，又由AB＋BC=2BD得AE=CD，故△APE≌△CPD，从而有∠EAP=∠PCB，故问题得证： 由AB＋BC=2BD得BC－BD=BD－AB，即CD=BD－BA，故可以在BD上截取BF=BA. 证法一：过P作PE⊥BA于E，如图所示，
∵PD⊥BC，∠1=∠2 ∴PE=PD（角平分线上一点到角的两边距离相等） 在Rt△BPE和Rt△BPD中 ∴BE=BD. ∵AB＋BC=2BD，BC=CD＋BD，AB=BE－AE， ∴AE=CD ∵PE⊥BE，PD⊥BC，∴∠PEB=∠PDC=90° 在△PEA和△PDC中 ∴∠PCB=∠PAE ∵∠BAP＋∠EAP=180° ∴∠BAP＋∠BCP=180°. 证法二：在BC上截取BF=BA，连接PF，如图所示.
∵AB＋BC=2BD 即BC－BD=BD－AB ∵BF=BA ∴BC－BD=BD－BF ∴CD=FD. 在△PDF和△PDC中 ∴△PDF≌△PDC ∴∠PCB=∠PFD 在△BAP和△BFP中 ∴△ABP≌△FBP ∴∠BAP=∠BFP ∵∠BFP＋∠PFC=180° ∴∠BAP＋∠PCB=180° 证法3：如图所示，延长BC到E，使DE=BD，连接PE，
∵PD⊥BD ∴∠BDP=∠EDP=90° 在△BDP和△EDP中 ∴△BDP≌△EDP ∴BP=PE，∠2=∠PEC 又∵∠1=∠2 ，∴∠PEC=∠1 ∵AB＋BC=2BD，DE=BD ∴AB=CE 在△ABP和△CEP中 ∴△ABP≌△CEP ∴∠BAP=∠ECP 又∵∠BCP＋∠ECP=180°， ∴∠BCP＋∠BAP=180°.
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∴Rt△BPE≌Rt△BPD.
，∴△PEA≌△PDC.
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