| 作轴对称图形 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、作轴对称图形
由于几何图形都可以看做由点组成，我们只要分别作出这些点关于对称轴的对应点，再连接，就可以得到原图形的轴对称图形．作对应点的依据是轴对称的性质（对称轴垂直平分任何一组对应点所连线段）
实际操作中，我们只需要作出原图形中关键点的对应点即可，关键点的个数的确定应根据已知图形的特点来确定，一般来说，多边形的关键点个数和顶点数有关．
二、用坐标表示轴对称
1、点P(x，y)关于x轴对称的点坐标为(x，－y)，关于y轴对称的点的坐标为(－x，y)，关于原点对称的点的坐标为(－x，－y)．
2、点P(x，y)关于直线x=b对称的点的坐标为(2b－x，y)，关于直线y=a对称的点的坐标为(x，2a－y)．
三、例题讲解
例1、在直线l的同旁有A、B两点，试在l上找一点P，使AP＋BP最短．
(视频题目中“C”改为“P”)
解：
作B关于直线l的对称点B′，连AB′，则AB′与l的交点即为所求点P．理由如下：
在l上任取一点P′，且与P点不重合，
∵B与B′关于直线l对称，
∴PB=PB′，P′B= P′B′，
∴AP′＋BP′=AP′＋B′P′＞AB′＝AP＋BP，
即AP＋BP最短，故P为所求．
总结：有关线段和最短的问题，可借助对称，再结合“两点间线段最短”或“三角形中任意两边之和大于第三边”解决问题．
变式1：如图，P、Q分别是△ABC的边AB、AC上的两点，在BC上求作一点R，使△PQR周长最短．
解：作Q关于BC的对称点Q′，连Q′P，与BC的交点即为所求点R．
变式2：如图，A为马厩，B为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边MN某一处牧马，再到河边 l 饮马，然后回到帐篷．请你帮他确定这一天的最短路线．
解：
分别作出点A，点B关于MN、l的对称点A′、B′，连接A′B′与MN、l分别交于点C、D，C、D即为所求点，故最短路线为ACDB．
总结：
会把实际问题转化为数学知识来解决．对于线段和最短的问题中，如果是关于两条不确定线段的，一般作一次对称可解决问题，如果是关于三条不确定线段的，一般作两次对称可解决问题．
变式3：如图，已知直线MN与MN异侧两点A、B，在MN上求作一点P，使线段|PA－PB|最大．
解：
作A关于MN的对称点A′，连A′B并延长，与MN的交点即为所求点P．
理由如下：
在MN上任取一异于点P的点P′，连P′A、P′A′、P′B，由对称知
∴PA=PA′，P′A=P′A′，
∴|PA－PB|=|PA′－PB|=|A′B|>|P′A′－P′B|=|P′A－P′B|，
即点P为所求．
总结：
有关线段差的最值问题同样可以借助轴对称解决．类似于例1，证明时还是采取任意取点，利用三角形三边关系来说明．
例2、如图，P是∠BAC平分线AD上一点，P与A不重合，AC>AB．求证：PC－PB<AC－AB．
证明：
将△APB沿AD对折，点B落在AC上E处，
由折叠知，AE=AB，PE=PB，
∴PC－PB=PC－PE<EC，AC－AB=AC－AE=EC，
∴PC－PB<AC－AB．
总结：
角作为一个轴对称图形，关于角平分线的问题可以借助折叠辅助线，折叠的实质就是作轴对称图形．另外，结合过程中用到的结论，在角平分线一讲里用到过类似的辅助线，即在角的较长边上截取与较短边相等的线段去构造全等三角形来解决问题．
例3、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的外角平分线，P是AD上异于点A的任一点，试比较PB＋PC与AB＋AC的大小．
解：
将△ACP沿AD对折，点C落在PA延长线E处，则AE=AC，PE=PC，
∴PB＋PC=PB＋PE>BE，AB＋AC=AB＋AE=BE，
即PB＋PC>AB＋AC．
总结：有关外角平分线的问题可以类似于内角平分线的问题来解决．
例4、已知点A(2x＋y－3，x－2y)，它关于x轴对称的点A′的坐标为(x＋3，y－4)，则点A关于x轴对称的点的坐标为__________．
解：
由已知得：
∴A′(8，－3)．
例5、已知点P1(2x＋y，3)和P2(4，x－3y)关于直线x=3对称，求x，y的值．
解：由已知得：
．
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