| 等腰三角形（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、定义及相关概念
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；相等的两条边叫做腰，另一边叫做底边；两腰所夹的角叫做顶角，底边与腰的夹角叫做底角．
二、性质
1、等腰三角形两底角相等．（简写成“等边对等角”）
2、等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合．（简称“三线合一”）
三、例题讲解
例1、如图，点D在AC上，点E在AB上，且AB=AC，BC=BD，AD=DE=BE．求∠A的度数．
解：设∠A=x．
∵AD=DE，
∴∠1=∠A＝x．
∵DE=BE，
∴∠2=
，
∴∠3=∠A＋∠2=
．
∵BD=BC，
∴∠C=
，
又∵AB=AC，
∴∠ABC=∠C＝
．
在△ABC中，∠A＋∠C＋∠ABC=180°，
∴x＋
=180°，
∴x=45°．即∠A＝45°．
总结：
在三角形中求角，往往通过设未知数建立方程解决，基本方法可概括为：设一角，然后通过题目中的条件将每一个三角形用一次（不重复用），表示相关的角，最后挑一个三角形利用三角形内角和或者同一个角的两种不同表示建立方程即可，比如此题还可以∠C的两种表示建立方程，即在△ABC中，∠C=
，在△DCB中，∠C=∠3=
，∴
，得x=45°．
例2、一个等腰三角形的一个外角等于110°，则这个三角形的三个内角分别为___________．
解：
①当110°为顶角的外角时，顶角为70°，则两底角均为55°．
②当110°为底角的外角时，底角均为70°，则顶角为40°．
所以三角形三内角分别为70°，55°，55°或40°，70°，70°．
变式：一个等腰三角形的两边长分别为1，2，则这个三角形的三边长分别为____________．
解：
当腰长为1时，由于1＋1=2，故此种情况不合题意．
当底边长为1时，则腰长为2，符合题意．
总结：涉及等腰三角形时，常应注意按腰、底边、顶角或底角来进行分类讨论．
例3、如图，△ABC中，AB=AC，AD和BE是高，它们交于点H，且AE=BE．求证：AH=2BD．
证明：
∵BE⊥AC，AB=AC，AD⊥BC，
∴∠1＋∠C=90°，∠2＋∠C=90°．
∴∠1=∠2，∠3＝∠4＝90°．
在△AHE和△BCE中，
∴△AHE≌△BCE（ASA），
∴AH=BC，
又∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BC＝2BD，
∴AH=2BD．
总结：
等腰三角形中出现了底边上的中线、高或顶角的平分线时，常利用“三线合一”性质解决问题．
变式：如图，在四边形ABDC中，AB=2AC，AD平分∠BAC，AD=BD．求证：CD⊥AC．
证明：
取AB中点E，连DE．
∵AB=2AC，E是AB中点，AD＝BD，
∴AB=2AE．
∴AE=AC，
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
在△AED和△ACD中，
∴△AED≌△ACD（SAS），
∴∠ACD=∠AED，
∵AD=BD，E是AB中点，
∴∠AED=90°，
∴∠ACD=90°，
即CD⊥AC．
例4、如图，△ABC中AB=AC，F在AC上，在BA延长线上取AE=AF．求证：EF⊥BC．
证明：
∵AB＝AC，
∴∠B＝∠C．
∵AE＝AF，
∴ ∠E＝∠4．
又∵∠3＝∠4，
∴∠E＝∠3．
∵∠1＝180°－∠B－∠E，∠2＝180°－∠C－∠3，
∴∠1＝∠2，
而B、D、C三点共线，
∴∠2＝90°，即EF⊥BC．
总结：
也可以作辅助线证明．有关等腰三角形的辅助线一般过顶角的顶点作底边的垂线，或取底边中点．另外，此题还可以以BE为腰构造等腰三角形或是直接证交角为90°．
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