| 等腰三角形（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
等腰三角形的判定方法：
1、利用定义
2、根据等角对等边
另外，等腰三角形还具有“三线合一”的性质．反过来，能否借助这个说明等腰三角形？
思考：①如图，若AD平分∠BAC，AD⊥BC，则△ABC是否是等腰三角形？
（可借助三角形三内角和相等说明∠B=∠C）
②如图，若AD⊥BC，且D是BC中点，则△ABC是否是等腰三角形？
（可借助“中垂线性质”说明）
③如图，若AD平分∠BAC，D是BC中点，则△ABC是否是等腰三角形？
（可利用“中线倍长”或过D作角两边的垂线来添加辅助线说明结论成立）
3、三角形中一边上的中线、高线和对角的平分线中，有两线合一，即可说明是等腰三角形．
例1、如图，△ABC中，∠ACB=90°，CD是AB上的高，∠BAC的平分线为AF，AF与CD交于E．
求证：△CEF是等腰三角形．
证明：
∵AF平分∠BAC，
∴∠1=∠2，
∵∠ACB=90°，CD⊥AB，
∴∠1＋∠5=90°，∠2＋∠3=90°，
∴∠3=∠5．
∵∠4＝∠5，
∴∠3=∠4，
∴CF=CE，
∴△CEF是等腰三角形．
总结：证明等腰三角形通常证明两角相等，此题还可以结合角平分线条件作垂线，再去证明等腰三角形．
例2、如图，∠ABC、∠ACB的平分线交于点F，过F作DE//BC交AB于D，交AC于E．试说明BD＋EC=DE．
解：∵BF平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵DE//BC，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴BD=DF．
同理：CE=EF，
∴BD＋CE=DF＋EF=DE．
总结：
过角平分线上一点作角两边的垂线可以构造全等三角形，过角平分线上一点作角一边的平行线，可以得到等腰三角形，结合此题结论，还可以得到△ADE周长=AB＋AC．
例3、如图，在△ABC中，AB=AC，EF为过点A的任一直线，CF⊥BC，BE⊥BC．
求证：AE=AF．
证明：延长BA交CF于G．
∵AB=AC，
∴∠1=∠2，
∵CF⊥BC，
∴∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°，
∴∠3=∠4，
∴AC=AG，
∴AB=AG．
∵BE⊥BC，CF⊥BC，
∴BE//CF，
∴∠E=∠F．
在△BAE和△GAF中，
∴△BAE≌△GAF（AAS），
∴AE=AF．
例4、如图，已知AD是△ABC的中线，BE交AC于点E，交AD于F，且AE=FE．
求证：AC=BF．
证明：
延长AD至G，使GD=AD，连BG．
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD．
在△BGD和△CAD中，
∴△BGD≌△CAD（SAS），
∴BG=AC，∠G=∠3．
∵AE=FE，
∴∠3=∠5．
又∵∠4=∠5，
∴∠3＝∠4．
∴∠4 =∠G ，
∴BG=BF，
∴AC = BF．
总结：
通过中线倍长可以将要证明相等的线段转化到一个三角形中，再证明该三角形是等腰三角形即可．
变式：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，M是BC的中点，过M作ME∥AD交BA的延长线于E，交AC于F，求证：BE＝CF＝
（AB＋AC）．
证明：
延长EM到G，使GM＝FM，连BG．
∵M是BC中点，
∴BM＝CM．
在△BMG和△CMF中，
∴△BMG≌△CMF（SAS）．
∴CF＝BG，∠G＝∠4．
∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠1＝∠2．
∵ME∥AD，
∴∠1＝∠E，∠2＝∠3．
∴∠E＝∠3．
而 ∠3＝∠4，
∴∠E＝∠4，∴∠E＝∠G．
∴BE＝BG，∴BE＝CF．
∵AB＝BE－AE，AC＝CF＋AF，
∴AB＋AC＝BE＋CF＋AF－AE．
而∠E＝∠3，∴AF＝AE．
∴AB＋AC＝2BE＝2CF，
∴BE＝CF＝
（AB＋AC）．
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