| 勾股定理 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、勾股定理
在直角三角形中，三边长为a、b、c，其中c为斜边，则a2＋b2=c2．
如：已知Rt△ABC中，三边长为a、b、c，其中a=3，b=4，则c=__________．
答案：
.
二、直角三角形的性质
（1）两锐角互余；
（2）Rt△ABC中，c为斜边，则a2＋b2=c2．
（3）如果有一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半，三边长为a，
，2a．
（4）等腰直角三角形三边长分别为a，a，
．
例1、如图，在△ABC中，CD⊥AB于D，若AB=5，
，∠BCD=30°，求AC的长．
解：
设BD=x，∵CD⊥AB，∠BCD=30°.
∴BC=2BD=2x.
在Rt△BCD中，根据勾股定理得BD2＋CD2=BC2.
即
.
解得x=2.
∴BD=2，∵AB=5，∴AD=3.
在Rt△ACD中，由勾股定理有
例2、如图，在△ABC中，∠C=90°，AD、BE是中线，
，AD=5，求AB的长．
解：
设CE=x，CD=y，则AC=2x，BC=2y.
在Rt△ACD和Rt△BCE中，由勾股定理得
例3、如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，点M为BC的中点，MN⊥AC于点N，求MN．
解：
连接AM，
∵AB=AC，M为BC的中点．
∴AM⊥BC．BM=MC=
BC=3.
在Rt△AMB中，由勾股定理得
．
设CN=x，则AN=5－x
在Rt△ANM中，MN2=AM2－AN2=42－（5－x）2．
在Rt△CNM中，MN2=MC2－CN2=32－x2．
∴32－x2=42－（5－x）2，解得
．
．
方法2：由面积法得：AM·MC=MN·AC.
例4、如图，在△ABC中，∠A=90°，P是AC的中点，PD⊥BC于D，BC=9，DC=3，求AB的长．
解：
连结PB，BD=BC－DC=6．
在Rt△BDP和Rt△PDC中
PD2=BP2－BD2，PD2=PC2－DC2．
∴BP2－BD2=PC2－DC2．
∴BP2－PC2=BD2－DC2=36－9=27．
在Rt△ABP中，AB2=BP2－AP2.
∵AP=PC．
∴AB2=BP2－PC2=27.
．
例5、如图，已知∠A=60°，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1，求BC和AD的长．
解：
如图，延长AD、BC交于点E．
∵∠B=90°，∠A=60°，∴∠E=30°.
∴AE=2AB=4.
在Rt△ABE中，由勾股定理得
.
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