| 勾股定理的逆定理 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、互逆命题
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么就称这两个命题互为逆命题．
如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题．
如：若a＞0，b＞0，则ab＞0．
逆命题：若ab＞0，则a＞0，b＞0．
二、逆定理
如果一个定理的逆命题是真命题，那么这个逆命题就是这个定理的逆定理．
三、勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长a、b、c满足a2＋b2=c2，那么这个三角形是直角三角形．
判断一个三角形是否为直角三角形的步骤：
①确定最大边；
②算出最大边的平方以及另两边的平方和；
③比较最大边的平方以及另两边的平方和．
四、勾股数组
能构成直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数组．
（3，4，5），（5，12，13），（7，24，25），（9，40，41），（11，60，61）…
显然，若（a，b，c）为勾股数组，则（ka，kb，kc）也为勾股数组，其中k为正整数．
例1、试判断：三边长分别为2n2＋2n，2n＋1，2n2＋2n＋1（n为正整数）的三角形是否是直角三角形．
解：
∵（2n2＋2n＋1）－（2n2＋2n）=1＞0，
（2n2＋2n＋1）－（2n＋1）=2n2＞0．
∴2n2＋2n＋1为三角形中最大边．
又∵（2n2＋2n＋1）2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
（2n2＋2n）2＋（2n＋1）2=4n4＋8n3＋8n2＋4n＋1，
∴（2n2＋2n＋1）2=（2n2＋2n）2＋（2n＋1）2．
由勾股定理的逆定理知，此三角形为直角三角形．
例2、如图，在△ABC中，D是BC上一点，AB=10，BD=6，AD=8，AC=17，求△ABC的面积．
解：
∵BD2＋AD2=36＋64=100=102=AB2，
∴△ABD为直角三角形．（备注：视频中板书有误，去掉中间的“形”）
∴AD⊥BC，即∠ADC=90°．
在Rt△ADC中，由勾股定理得
．
∴BC=BD＋DC=6＋15=21．
．
∴△ABC的面积为84.
例3、如图，P为正△ABC内一点，且PC=3，PB=4，PA=5，求∠BPC的度数．
解：
将△APC绕点C逆时针旋转60°，得△BP′C．连接PP′.
∴△APC≌△BP′C，∠PCP′=60°．
∴P′C=PC=3，P′B=PA=5．
∴△PCP′为正三角形．
∴PP′=PC=3，∠P′PC=60°．
在△BPP′中，PB2＋P′P2=42＋32=52=P′B2．
∴△BPP′为直角三角形．
∴∠BPP′=90°．
∴∠BPC=∠BPP′＋∠P′PC=90°＋60°=150°．
例4、△ABC中，D为直线BC上一点，且AB=13，AD=12，AC=15，BD=5，求BC的长．
图① 图②
解：
①当D在BC边上时，如图①所示．
∵AD2＋BD2=122＋52=132=AB2，
∴△ABD为直角三角形，即AD⊥BC.
在Rt△ADC中，由勾股定理得
.
∴BC=BD＋DC=5＋9=14.
②当D在CB延长线上时，如图②所示，
由①可知CD=9，∴BC=CD－BD=9－5=4．
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