| 勾股定理及其逆定理的综合应用 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
例1、设a、b、c、d都是正数.
求证：
．
证明：
构造一个长为（a＋b），宽为（c＋d）的矩形ABCD．
例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D、E在BC上，且∠DAE=45°，求证：CD2＋BE2=DE2．
证明：
将△ABE绕点A逆时针旋转90°得△ACF，∴△ABE≌△ACF.
∴BE=CF，∠1=∠2，AE=AF，∠ACF=∠B=45°.
∴∠DCF=∠ACB＋∠ACF=90°.
∵∠BAC=90°，∠DAE=45°，∴∠1＋∠3=45°.
∴∠2＋∠3=45°，即∠EAD=∠FAD.
在△AED和△AFD中，
.
∴△AED≌△AFD.
∴DF=DE.
又在Rt△DCF中，CD2＋CF2=FD2.
∴CD2＋BE2=DE2.
例3、如图，BE⊥AD，且AE=DE=9，AB=15，CD=36，BC=39，求四边形ABCD的面积．
解：
连接BD．
∵BE⊥AD，AE=DE，
∴AB=BD=15.
在△BCD中，BD2＋CD2=152＋362=392=BC2.
∴△BCD为直角三角形.
∴∠BDC=90°.
例4、如图，在△ABC中，AB=5，AC=13，边BC上的中线AD=6，求BC的长．
解：
延长AD至E，使DE=AD，连接CE．
∵D为BC的中点，∴CD=BD，又∠ADB=∠EDC，
∴△ABD≌△ECD.
∴AB=CE=5.
在△ACE中，AE=2AD=12，CE=5，AC=13.
∵AE2＋CE2=122＋52=169=132=AC2.
∴∠AEC=90°.
在Rt△CDE中，CD2=DE2＋CE2=62＋52=61.
.
例5、如图，在等腰直角三角形中，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别为AB、AC边上的点，且DE⊥DF．
（1）求证：BE2＋CF2=EF2；
（2）若BE=12，CF=5，求
．
解：
（1）证明：连接AD．
∵AB=AC，D为BC的中点，∴AD=CD，AD⊥BC，∠3=∠C=45°.
∵ED⊥DF，∴∠1＋∠4=90°，而∠2＋∠4=90°，∴∠1=∠2.
∴△ADE≌△CDF.
∴AE=FC.
∵AB=AC，∴BE=AF.
在Rt△AEF中，AE2＋AF2=EF2，∴BE2＋CF2=EF2.
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