| 平行四边形的性质（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、平行四边形的概念
平行四边形的性质：平行四边形的对角线互相平分．
互相平分是指两条对角线有公共的中点．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
引申①：S△AOD=S△BOC=S△AOB=S△COD=
S□ABCD．
引申②：S1＋S3=S2=
S□ABCD．
引申③：S1＋S2=
S□ABCD．
例1、如图，已知□ABCD的周长为32cm，对角线AC、BD相交于点O，△AOB的周长比△BOC的周长多4cm．求这个四边形的各边的长．
解：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，AO=CO．
∵AB＋CD＋AD＋BC=32，
∴AB＋BC=16．
∵OA＋OB＋AB－(OB＋BC＋OC)=4，
∴AB－BC=4，
∴AB=CD=10，BC=AD=6．
故四边形ABCD各边的长分别为10cm、6cm、10cm、6cm．
例2、如图，□ABCD中，对角线AC、BD交于O点，过O点的直线交AD、BC于点E、F．求证：OE=OF．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD//BC，OB=OD．
∴∠3=∠4．
又∠1=∠2，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴OE=OF．
引申：
∵△EOD≌△FOB，
∴S△EOD=S△FOB，
∴S四边形EFCD=S四边形CFOD＋ S△EOD
= S四边形CFOD＋ S△FOB
= S△BCD=
S□ABCD．
归纳：经过平行四边形对角线交点的直线把平行四边形分成面积相等的两部分．
例3、如图，已知E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF．求证：DF//BE．
证法1：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD，∴∠BAE=∠DCF．
又AE=CF，
∴△ABE≌△CDF（SAS），
∴∠AEB=∠CFD，
∴∠BEF=∠DFE，
∴DF//BE．
证法2：
∵AE=CF，∴AF=CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD
BC，∠DAF=∠BCE．
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴∠AFD=∠CEB，
∴DF//BE．
证法3：
连BD交AC于点O．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．
又AE=CF，∴OE=OF．
∵∠DOF=∠BOE，
∴△BOE≌△DOF（SAS），
∴∠BEO=∠DFO，
∴DF//BE．
例4、已知点E是□ABCD的对角线AC上任一点．求证：S△BEC＝S△CDE．
证明：
过B作BM⊥AC于M，过D作DN⊥AC于N，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD，
∴∠1=∠2．
又∠AMB=∠CND=90°，
∴△ABM≌△CDN（AAS），
∴BM=DN，
∴
CE·BM=
CE·DN，
∴S△BEC= S△CDE．
证法2：连BD交AC于点O，
易证：S△BOE= S△DOE，S△BOC= S△COD，∴S△BEC= S△CDE．
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