| 平行四边形的判定（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、平行四边形的概念
定义：有两组对边互相平行的四边形是平行四边形.
判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形．
AB=CD，AD=BC，
△ABC≌△CDA（SSS），
∴∠1=∠2，∠3=∠4，
∴AD//BC，AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定定理2：对角线互相平分的四边形是平行四边形．
OA=OC，OB=OD，
△AOD≌△COB（SAS），
∴∠1=∠2，
∴AD//BC，同理AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
判定定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
∠A=∠C，∠B=∠D，
∠A＋∠B=
(∠A＋∠B＋∠C＋∠D)=180°，
∴AD//BC，同理AB//CD，
∴四边形ABCD是平行四边形．
例1、如图，□ABCD中，E、F、G、H分别是四条边上的点，且AE=CF，BG=DH．求证：EF与GH互相平分．
证明：
连接EG、GF、FH、HE．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠A=∠C，AD=BC．
∵BG=DH，
∴AH=CG．
又∵AE=CF，
∴△AHE≌△CGF（SAS），
∴HE=FG．
同理△DHF≌△BGE，
∴HF=GE，
∴四边形EGFH是平行四边形，
∴EF与GH互相平分．
例2、如图，在□ABCD中，E、F是对角线BD上两点，且BF=DE，连接AE、CE、AF、CF．求证：四边形AECF是平行四边形．
证明：
方法①：由AD=BC，∠1=∠2，BF=DE可得，
∴△ADE≌△CBF（SAS），
∴AE=CF，同理可证AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
方法②：连接AC交BD于O点．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴OB=OD，OA=OC．
又BF=DE，∴OF=OE，
∴四边形AECF是平行四边形．
例3、如图，AD是△ABC的中线，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF．求证：BF=AC．
证明：
延长AD到M，使DM=AD，连接BM、CM．
∵BD=DC，
∴四边形ABMC是平行四边形，
∴AC
BM，∴∠1=∠3．
∵AE=EF，∴∠1=∠2，∴∠2=∠3．
∵∠4=∠2，∴∠3=∠4，∴BF=BM．
∵BM=AC，∴BF=AC．
例4、如图，在□ABCD中，DE平分∠ADC交CB的延长线于E，BF平分∠ABC交AD的延长线于F．求证：四边形BFDE是平行四边形．
证明：方法1：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD//BC，∠ADC=∠ABC，
∴∠1=∠E，DF//BE.
∵DE平分∠ADC，BF平分∠ABC，
∴∠1=
∠ADC，∠2=
∠ABC，
∴∠1=∠2，∴∠E=∠2，
∴BF//DE．
∴四边形BFDE是平行四边形．
方法2：证△ABF≌△CDE，
∴BF=DE，AF=CE，
∵AD=CB，∴DF=BE，
∴四边形BFDE是平行四边形．
方法3：由方法2知：∠F=∠E．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴∠A=∠C，AB//CD，
∴∠A=∠CDF，∠C=∠ABE，
∴∠CDF=∠ABE．
又∵∠3=∠4，
∴∠EDF=∠EBF，
∴四边形BFDE是平行四边形．
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