| 平行四边形的判定（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
已知AB
CD，求证：四边形ABCD为平行四边形．
证法1：
如图，连接AC．
∵AB//CD，∴∠1=∠2．
又AB=CD，AC=AC，
∴△ABC≌△CDA（SAS），
∴BC=AD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
证法2：
同证法1，得△ABC≌△CDA，
∵∠B=∠D，同理可证∠BAD=∠BCD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
证法3：
连接AC、BD相交于点O，
∵AB//CD，∴∠1=∠2．
又∠ABO=∠CDO，AB=CD，
∴△AOB≌△COD，
∴OA=OC，OB=OD，
∴四边形ABCD为平行四边形．
例1、如图，在四边形ABCD中，AB=DC，AD=BC，点E在BC上，点F在AD上，AF=CE，EF与对角线BD相交于点O．求证：点O是BD的中点．
证明：
连接BF、DE．
∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD为平行四边形，
∴AD
BC．
又∵AF=CE，∴DF
BE，
∴四边形BEDF为平行四边形，
∴OB=OD，
即点O是BD的中点．
例2、如图，BD是□ABCD的对角线，AE⊥BD于点E，CF⊥BD于点F．求证：四边形AECF为平行四边形．
证法1：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD，∠ABE=∠CDF，
∵AE⊥BD，CF⊥BD，∴∠AEB=∠CFD=90°，AE//CF.
∴△ABE≌△CDF，
∴AE=CF．
∴AE
CF．
∴四边形AECF为平行四边形．
证法2：
连接AC交BD于点O，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AO=CO，
又∠AOE=∠COF，∠AEO=∠CFO=90°，
∴△AEO≌△CFO，∴OE=OF，
∴四边形AECF为平行四边形．
例3、如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中点，AF与EB交于点G，CE与DF交于点H．求证：四边形EGFH为平行四边形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD
BC．
又∵E、F是AD、BC的中点，
∴AE
CF，DE
BF，
∴四边形AFCE和四边形EBFD都是平行四边形，
∴AF//CE，BE//DF，即FG//EH，EG//FH，
∴四边形EGFH为平行四边形．
例4、如图，ABCD为平行四边形，BE=DF，AG=CH．求证：四边形EHFG为平行四边形．
证明：
连接AF、CE，连接EF交AC于O点．
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB
CD，OA=OC.
∵BE=DF，
∴AE
CF，
∴四边形AECF为平行四边形，
∴OE=OF．
∵AG=CH，
∴OG=OH，
∴四边形EHFG为平行四边形．
例5、如图，四边形ABCD中，DC//AB，以AD、AC为边作□ACED，延长DC交EB于点F．求证：EF=FB．
证明：
过点B作BG//CE，交CF的延长线于点G，连接EG．
∵四边形ACED为平行四边形，
∴AD
CE，
∵BG//EC，∴BG//AD.
∵DC//AB，∴四边形ABGD是平行四边形.
∴BG
AD，∴BG
EC.
∴四边形ECBG是平行四边形.
∴EF=FB．
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