| 三角形的中位线定理 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、三角形的中位线
连接三角形两边的中点的线段叫做三角形的中位线．
二、三角形中位线定理
三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半．
已知：点D、E分别是△ABC边AB、AC的中点．
求证：DE//BC，且DE=
BC．
证明：
如图，延长DE到点F，取EF=DE，连接DC、FC、AF．
∵AE=EC，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∴CF
DA．
又∵D是AB的中点，
∴CF
BD，
∴四边形DBCF是平行四边形，
∴DF
BC．
又DE=
DF，
∴DE//BC，且DE=
BC．
三、由三角形中位线定理可以推出：
1、三角形三条中位线组成一个三角形，其周长为原三角形周长一半．
2、三角形三条中位线将原三角形分割成四个全等的三角形．
3、三角形三条中位线可以从原三角形中划分出面积相等的三个平行四边形．
例1、如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．求证：四边形EFGH是平行四边形．
证明：
连接BD．
∵E、H是AB、AD的中点，
∴EH
BD．
∵F、G是BC、CD的中点，
∴FG
BD，
∴EH
FG，
∴四边形EFGH是平行四边形．
例2、如图，已知AD是△ABC的∠A的平分线，BD⊥AO的延长线于点D，E是BC的中点．求证：DE=
(AB－AC)．
证明：
延长AC、BD相交于点F．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵AD⊥BF，
∴∠ADB=∠ADF，
∴∠ABD=∠AFD，
∴AB=AF，
∵△ABF是等腰三角形．
∵AD⊥BD，
∴BD=DF，
∵E为BC的中点，
∴DE是△BCF的中位线，
∴DE=
CF=
(AF－AC)=
(AB－AC).
例3、如图，△ABC中，D是BC的中点，E是AD的中点，直线BE交AC于F．求证：AF=
FC．
证明：
取BF的中点G，连接DG．
∵D是BC的中点，G是BF的中点，
∴DG
FC，
∴∠1=∠2，
∵E为AD的中点，
∴AE=DE．
又∠AEF=∠DEG，
∴△AEF≌△DEG（ASA），
∴DG=AF，
∴AF=
FC．
例4、已知，如图，E、F分别为四边形ABCD的对角线AC、BD的中点．求证：EF<
(AB＋CD)．
证明：
取BC的中点G，连接EG、FG．
∵E为AC的中点，G为BC的中点，
∴EG=
AB．
∵F为BD的中点，G为BC的中点，
∴FG=
CD．
在△EFG中，EF<EG＋FG，
∴EF<
(AB＋CD)．
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