| 矩形的性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、矩形的定义
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，可见矩形是特殊的平行四边形．
二、矩形的性质
矩形具有平行四边形的所有性质，此外还具有自身的独特性质．
性质1：矩形的四个角是直角．
性质2：矩形的对角线相等．
∴△ABC≌△DCB（SAS），
∴AC=BD．
推论：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．
例1、如图，矩形ABCD中，AC、BD相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE=15°．求∠BOE的度数．
解：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠DAB=∠ABC=90°，OA=OB，
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAE=
∠BAD=45°，
∴BA=BE．
∵∠CAE=15°，
∴∠BAC=60°，
∴△ABO为等边三角形，
∴OB=AB=BE，∠ABD=60°，
∴∠DBE=30°，△OBE为等腰三角形.
∴∠BOE=
(180°－30°)= 75°．
例2、如图，在△ABC中，∠BAC=90°，延长BA到点D，使AD=
AB，点E、F分别为BC、AC的中点．
（1）求证：DF=BE；
（2）过点A作AG//BC，交DF于点G．求证：AG=DG．
证明：
（1）连接AE，∵E、F为BC、AC的中点.
∴EF
AB，
∵AD=
AB，
∴EF
AD，
∴四边形AEFD为平行四边形，
∴DF=AE，
∵∠BAC=90°，E为BC的中点，∴AE=BE.
∴DF=BE．
（2）∵AG//BC，∴∠1=∠B，
∵AE=BE，∴∠B=∠2，
∵EF//AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠B=∠2=∠3．
∵四边形AEFD为平行四边形，
∴∠D=∠3，
∴∠1=∠D，
即AG=DG．
例3、已知E是矩形ABCD的边CB延长线上一点，CE=CA，F是AE的中点．求证：BF⊥FD．
证明：
连接CF．
∵CA=CE，FA=FE，
∴CF⊥AE，
∴∠1＋∠2=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC，∠DAB=∠ABC=90°，
∴∠ABE=90°．
∵BF是Rt△ABE的斜边AE上的中线，
∴BF=AF，
∴∠4=∠5，
∴∠DAF=∠CBF，
∴△DAF≌△CBF（SAS），
∴∠1=∠3，
∴∠2＋∠3=90°，即BF⊥FD．
例4、如图，E是矩形ABCD的边AD上一点，且BE=ED，P是对角线BD上任一点，PF⊥BE，PG⊥AD，垂足分别为F、G．求证：PF＋PG=AB．
证明：方法1：
延长GP交BC于M点，则PM⊥BC，
∴AB=GM，
∵BE=ED，∴∠1=∠3，
∵AD//BC，∴∠2=∠3，
∴∠1=∠2，
∴BD平分∠EBC．
∵PF⊥BE，PM⊥BC，
∴PF=PM，
∵PG＋PM=GM=AB，
∴PF＋PG=AB．
方法2：
过P作PN⊥AB于N点，
则四边形PNAG为矩形，
∴PG=AN，
易证：△PBF≌△BPN，
∴PF=BN，
∵AB=AN＋BN，
∴PF＋PG=AB．
方法3：
连接PE．
∵S△BEP＋S△DEP= S△BED，
∴
BE·PF＋
DE·PG=
DE·AB，
∵BE=DE，
∴PF＋PG=AB．
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