| 矩形的判定 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
矩形的判定方法：
定义：有一个角是直角的平行四边形是矩形．
判定定理1：对角线相等的平行四边形是矩形．
△ABC≌△DCB（SSS），
∴∠ABC=∠DCB，
又∠ABC＋∠DCB=180°，
∴∠ABC=90°，
即四边形ABCD是矩形．
判定定理2：有三个角是直角的四边形是矩形．
由∠A=∠B=∠C=90°，知∠D=90°，
∴∠A=∠C，∠B=∠D，
∴四边形ABCD是平行四边形，又∠A=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
例1、如图，四边形ABCD中，BE=DF，AC与EF互相平分于点O，∠B=90°．求证：四边形ABCD是矩形．
证明：
连接AF、CE．
∵EF和AC互相平分，
∴四边形AECF是平行四边形，
∴CF
AE，
∵BE=DF，
∴CD
AB，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∵∠B=90°，
∴四边形ABCD是矩形．
例2、如图，□ABCD的对角线AC、BD相交于点O，△OAB是等边三角形，且AB=4cm．求□ABCD的面积．
解：
∵△OAB是等边三角形，
∴OA=OB=AB=4cm，∠BAO=60°，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=
AC，OB=
BD，
∴AC=BD=8cm，
∴□ABCD是矩形，
∴∠ABC=90°．
在Rt△ABC中，AB=4cm，AC=8cm．
∴
，
∴S□ABCD =BC·AB=
．
例3、已知，如图，△ABC中，D是AB上一点，且AD=CD=BD，DE、DF分别是∠BDC和∠ADC的平分线．求证：四边形CFDE是矩形．
证明：
∵DE、DF分别平分∠BDC、∠ADC，
∴∠1＋∠2=
∠ADC＋
∠BDC=
(∠ADC＋∠BDC)=
×180°=90°，
∵AD=CD，∴△ADC为等腰三角形，∴DF⊥AC，即∠DFC=90°．
同理∠DEC=90°，
∴∠DEC=∠DFC=∠EDF=90°，
∴四边形CFDE是矩形．
例4、已知E为□ABCD外一点，且AE⊥EC，BE⊥ED．求证：□ABCD是矩形．
证明：
连接AC、BD相交于点O，连接EO．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD．
∵AE⊥EC，BE⊥ED，
∴OE为Rt△AEC和Rt△BED的斜边上的中线，
∴OE=OA=OC，OE=OB=OD，
∴OA=OB，
∴AC=BD，
∴□ABCD是矩形．
例5、如图，在Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC上任一点，DF⊥AB于F，DE⊥AC于E，M为BC的中点．试判断△MEF是什么形状的三角形？并证明．
解：
△MEF是等腰直角三角形，证明如下：
连接AM．则有AM=BM，AM⊥BC，∠MAE=∠B=45°．
∵DF⊥AB，DE⊥AC，
∴∠DFA=∠FAE=∠AED=90°，
∴四边形DFAE是矩形，
∴DF=AE=BF．
∴△AEM≌△BFM（SAS），
∴EM=FM，∠AME=∠BMF．
∴∠EMF=∠AME＋∠AMF=∠BMF＋∠AMF =∠AMB=90°，
∴△MEF是等腰直角三角形．
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