| 菱形的性质 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、菱形的定义
有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形．
二、菱形的性质
由于菱形是一种特殊的平行四边形，所以它具有平行四边形的所有性质，此外它还具有如下性质．
性质1：菱形的四条边都相等．
性质2：菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角．
三、菱形的面积计算公式
S菱形ABCD=
AC·BD
菱形的面积等于两条对角线长的积的一半．
例1、如图，菱形ABCD的边长为2，∠ABC=60°，求AC、BD的长及菱形的面积．
解：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO=
∠ABC=
×60°=30°．
在Rt△AOB中，AO=
AB=
×2=1，
，
∴AC=2AO=2，BD=2BO=
，
∴S菱形ABCD=
．
例2、如图所示，在菱形ABCD中，E是AB的中点，且DE⊥AB，AB=2．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求对角线AC的长度；
（3）求菱形ABCD的面积．
解：
（1）连接BD交AC于O．
∵DE⊥AB，E为AB的中点，
∴AD=BD．
又∵AD=AB，
∴AD=BD=AB，
即△ABD为正三角形，
∴∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°．
（2）∵四边形ABCD为菱形，
∴∠DAO=30°，即DO=1，
例3、菱形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且∠B=∠EAF=60°，∠BAE=18°，求∠CEF的度数．
解：
连接AC．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，AC平分∠BCD.
∵∠B=60°，∴△ABC为等边三角形，
∴AC=AB，∠ACD=∠ACB=60°.
∵∠BAE＋∠EAC=∠EAC＋∠CAF，
∴∠BAE=∠CAF.
∴△ABE≌△ACF（ASA），
∴AE=AF，
∴△AEF是等边三角形，
∴∠AEF=60°．
∵∠AEC=∠BAE＋∠B=78°，
∴∠CEF=∠AEC－∠AEF=18°．
例4、如图，E是菱形ABCD边AD的中点，EF⊥AC于点H交CB延长线于点F，交AB于点G．求证：AB与EF互相平分．
证明：连接AF、BE、BD．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AD//BC，AC⊥BD，
∵EF⊥AC，
∴EF//BD，
∴四边形EFBD为平行四边形，
∴DE
BF．
又E为AD的中点，
∴AE=ED，
∴AE
BF，
∴四边形AFBE为平行四边形，
∴AB与EF互相平分．
例5、在边长为6的菱形ABCD中，∠DAB=60°，E为AB的中点，点F为AC上的一动点．求EF＋BF的最小值．
解：
连接BD、DE．设DE与AC相交于点G，连接GB．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC、BD互相垂直平分，
∴DF=BF，BG=DG，
∴EG＋BG=EG＋DG=DE≤EF＋DF=EF＋BF，（备注：视频中应该是“≤”）.
∴只有点F运动到点G时，EF＋BF的值最小．
∵∠DAB=60°，AD=AB，
∴△ABD为等边三角形，
∵E为AB的中点，
∴DE⊥AB．
在Rt△DEA中，∠DAE=60°，∠ADE=30°，
∴
.
∴
.
∴EF＋BF的最小值为
．
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