| 菱形的判定 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
菱形的判定方法：
①定义：一组邻边相等的平行四边形是菱形．
②判定定理1：对角线互相垂直的平行四边形是菱形．
③判定定理2：四边相等的四边形是菱形．
例1、如图，已知□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F，求证：四边形AFCE是菱形．
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AE∥CF，
∴∠1=∠2．
∵EF垂直平分AC，
∴∠3=∠4=90°，OA=OC．
∴△AOE≌△COF（AAS）．
∴AE=CF，即AE
CF．
∴四边形AFCE是平行四边形．
∵EF⊥AC，
∴□AFCE是菱形．
方法2：∵EF垂直平分AC，
∴EA=EC，FA=FC．
又AE=CF，∴AF=FC=CE=EA．
∴四边形AFCE是菱形．
例2、如图，四边形ABCD中，AB∥CD，AC平分∠BAD，CE∥AD交AB于E，求证：四边形AECD是菱形．
证明：
∵AB∥CD，CE∥AD，
∴四边形AECD是平行四边形，∠2=∠3．
∵AC平分∠BAD，
∴∠1=∠2．
∴∠1=∠3．
∴AE=CE．
∴□AECD是菱形．
例3、如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，EF是AD的垂直平分线，分别交AB于E，交AC于F．求证：四边形AEDF是菱形．
证明：
∵EF垂直平分AD，
∴AE=DE，AF=DF，∠AOE=∠AOF=90°．
∵AD平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
又AO为公共边．
∴△AOE≌△AOF（ASA）．
∴AE=AF．
∴AE=DE=AF=DF．
∴四边形AEDF是菱形．
例4、已知，如图，AD是Rt△ABC斜边BC上的高，BE平分∠ABC交AD于G，交AC于E，过E作EF⊥BC于F，求证：四边形AEFG是菱形．
证明：
∵BE平分∠ABC，
∴∠1=∠2．
∵∠1＋∠5=∠2＋∠3=90°，
∴∠3=∠5．
∵∠3=∠4，
∴∠4=∠5．
∴AG=AE．
∵EA⊥AB，EF⊥BC，
∴AE=EF．
∴AG=EF．
∵AD⊥BC，EF⊥BC，
∴AG∥EF．
∴AG
EF．
∴四边形AEFG是平行四边形．
∵AE=EF，
∴□AEFG是菱形．
例5、如图，M、N分别是平行四边形ABCD的对边AD、BC的中点，且AD=2AB．求证：四边形PMQN是矩形．
证明：
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AD
BC．
∵M、N为AD、BC的中点，
∴AM
CN．
∵四边形ANCM为平行四边形，
∴MQ∥PN．
同理可证：PM∥QN．
∴四边形PMQN为平行四边形．
连接MN，则四边形ABNM为平行四边形．
∵AD=2AB，
∴AM=AB．
∴□ABNM为菱形．
∴AN⊥BM．
∴∠MPN=90°．
∴四边形PMQN是矩形．
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