例、如图,已知在四边形ABFC中∠ACB=90°,BC的垂直平分线EF交BC于点D,交AB于点E,且CF=AE.
(1)试探究,四边形BECF是什么特殊的四边形,并证明之;
(2)若四边形BECF的面积是6cm2且BC+AC=cm时,求AB.
分析:
(1)根据中垂线的性质:中垂线上的点到线段两个端点的距离相等,有BE=EC,BF=FC,又因为CF=BE,BE=EC=BF=FC,根据四边相等的四边形是菱形,所以四边形BECF是菱形;
(2)根据菱形的面积公式可知:BC·EF=6×2(cm2),又BC+AC=cm,再根据勾股定理即可求出BE的长,继而得出AB的长.
解:(1)四边形BECF是菱形.
证明:EF垂直平分BC,
∴BF=FC,BE=EC,
∴∠1=∠2,
∵∠ACB=90°,
∴∠1+∠4=90°,∠3+∠2=90°,
∴∠3=∠4,∴EC=AE,BE=AE.
∵CF=AE,
∴BE=EC=CF=BF,
∴四边形BECF是菱形.
(2)由(1)可知四边形AEFC为平行四边形,∴EF=AC.
根据菱形的面积公式可知:BC·AC=6×2=12(cm2),
又BC+AC=cm,
∴(BC+AC)2-2BC·AC=BC2+AC2=105-2×12=81(cm2),
∴AB==9cm.
点评:本题考查菱形的判定和性质,有一定难度,解题关键是熟练掌握菱形的判定方法及性质并灵活运用.