| 正方形 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、正方形的定义
四条边都相等，四个角都是直角的四边形是正方形．
二、正方形的性质
三、正方形的判定
从平行四边形出发：有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形是正方形．
从菱形出发：有一个角是直角的菱形是正方形．
从矩形出发：有一组邻边相等的矩形是正方形．
例1、如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在CD、BC上，且AF=BE，BE、AF相交于点G，求证：BE⊥AF．
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴AB=BC，∠ABF=∠BCE=90°．
∵AF=BE，
∴Rt△ABF≌Rt△BCE（HL）．
∴∠1=∠4．
∵∠2＋∠4=90°
∴∠1＋∠2=90°．
∴∠AGB=90°，
∴BE⊥AF．
变式1：若BE⊥AF，求证：BE=AF．
分析：
由BE⊥AF
∠1=∠4
△ABF≌△BCE（ASA）
BE=AF．
变式2：如图，若BE⊥FM，求证：BE=FM．
分析：
如图，过F作FN⊥BC，则△BCE≌△FNM（ASA），∴BE=FM．
例2、如图，正方形ABCD中，AC和BD相交于点O，E是OA上一点，G是OB上一点，且OE=OG，求证：CG=BE，CG⊥BE．
证明：
∵四边形ABCD为正方形，
∴OB=OC，∠EOB=∠GOC=90°．
∵OE=OG，
∴△BOE≌△COG（SAS）．
∴CG=BE．
延长CG交BE于F点，
由△BOE≌△COG可得∠2=∠3．
∵∠1＋∠3=90°，
∴∠1＋∠2=90°，即∠CFE=90°．
∴CG⊥BE．
例3、如图，EG、FH过正方形ABCD对角线的交点O，EG⊥FH，求证：四边形EFGH是正方形．
证明：
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OD，OA⊥OD，∠4=∠5=45°．
∴∠2＋∠3=90°．
∵EG⊥FH，
∴∠1＋∠2=90°．
∴∠1=∠3．
∴△AOE≌△DOF（ASA）．
∴OE=OF，同理可证：OF=OG=OH．
∴EG=FH．
∴四边形EFGH是矩形．
∵EG⊥FH，
∴四边形EFGH是正方形．
例4、正方形ABCD的对角线交点为O，AE平分∠BAC交BC于E，交OB于F，求证：EC=2OF．
证明：
取AE的中点G，连结OG，
∵四边形ABCD为正方形，
∴∠3=∠4=45°，O为AC的中点．
．
∴∠6=∠7．
∵AE平分∠BAC，
∴∠1=∠2．
∵∠5=∠1＋∠3，∠6=∠2＋∠4，
∴∠5=∠6=∠7．
∵∠5=∠8，
∴∠7=∠8．
，即EC=2OF．
高一全科点睛班课程 高一全科强化班课程 高二全科全年强化班 高三全科强化班课程 初一全科强化班课程 初一全科点睛班课程 初二全科强化班视频 初二全科点睛班课程 初三全科强化班 全科巨无霸同步提高课程 小学全年全科强化班
- 返回 -
