| 梯形（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、梯形的判定
①一组对边平行另一组对边不平行的四边形叫做梯形．
②一组对边平行且不相等的四边形是梯形．
二、等腰梯形的判定
①两腰相等的梯形是等腰梯形．
②同一底上两个角相等的梯形是等腰梯形．
已知：梯形ABCD，AD//BC，∠B=∠C．
求证：梯形ABCD为等腰梯形．
方法1：延长BA、CD交于E点．
∵∠B=∠C，
∴EB=EC．
∵AD∥BC，
∴∠1=∠B，∠2=∠C．
∴∠1=∠2．
∴EA=ED．
∴EB－EA=EC－ED．
∴AB=CD．
∴梯形ABCD为等腰梯形．
方法2：过D作DF∥AB交BC于F．
∴∠3=∠B=∠C，AB=DF．
∴DC=DF=AB．
∴梯形ABCD为等腰梯形．
③对角线相等的梯形是等腰梯形．
证明：过D作DF∥AC交BC的延长线于F．
则四边形ACFD为平行四边形，
∴DF=AC=BD，∠F=∠2．
∴∠F=∠1．
∴∠1=∠2．
∵BD=AC，BC=CB．
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD为等腰梯形．
方法二：
Rt△AMC≌Rt△DNB（HL）．
∴∠1=∠2．
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
∴AB=DC．
∴梯形ABCD为等腰梯形．
三、梯形的中位线性质
连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．梯形的中位线与上下底平行，并等于上下底和的一半．
证明：
易知△ADF≌△MCF（AAS）．
∴AD=CM，AF=FM．
∴F为AM的中点，
又E为AB的中点，
．
∴AD∥EF∥BC，
．
例1、如图，在菱形ABCD中，∠DAB=60°，过点C作CE⊥AC且与AB的延长线交于点E，求证：四边形AECD为等腰梯形．
证明：
∵四边形ABCD是菱形，
．
∴AE∥DC且AE≠DC．
∴四边形AECD为梯形．
∵AC⊥CE，
∴∠E=90°－∠1=90°－30°=60°．
∴∠E=∠DAB．
∴四边形AECD为等腰梯形．
例2、如图，已知四边形ABCD中，AB=DC，AC=DB，AD≠BC，求证：四边形ABCD是等腰梯形．
证明：
∵AB=CD，AC=BD，BC=CB，
∴△ABC≌△DCB（SSS）．
∴∠ABC=∠DCB．
过点A作AE∥CD交BC于E点．
∵∠1=∠DCB，
∴∠ABC=∠1．
∴AB=AE．
∴AE=CD．
∴四边形AECD是平行四边形．
∴AD∥BC．
∵AB=DC且AD≠BC，
∴四边形ABCD是等腰梯形．
例3、已知，如图，梯形ABCD中，AB∥DC，E是BC中点，若CD=CE，∠D=90°，求证：∠AEC=3∠BAE．
证明：
延长AE交DC的延长线于F．
易知△ABE≌△FCE．
∴AE=EF，∠F=∠1．
即E为AF的中点．
∵∠D=90°，
∴DE=EF．
∴∠2=∠F．
∵CD=CE，
∴∠3=∠2=∠F．
又∠4=∠2＋∠F=2∠F．
∴∠AEC=∠3＋∠4=3∠F=3∠1．
即∠AEC=3∠BAE．
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