| 数据的波动 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、极差
一组数据中的最大数据与最小数据的差叫做这组数据的极差．
注：极差具有非负性．
极差反映的是数据的波动范围，受极端值的影响．
①2，3，4，6，10
②1，5，5，5，9
①极差：10－2=8，平均值：5
②极差：9－1=8，平均值：5
二、方差
若一组数据x1，x2，…，xn的平均数为
，则把
叫做这组数据的方差，记为S2．
方差越大，数据波动越大，方差越小，数据波动越小．
①方差具有非负性.
②一组数据每个数据都相等时，方差为零．反过来，方差为零时，数据都相等．
③方差的大小与一组数据的平均数的大小无关．
三、方差的计算
①简化计算公式：
②方差、平均值的运算性质
如果数据x1，x2，…xn的平均数为
，方差为S2，则有
（1）一组新数据x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的平均数为
，方差为S2（b是常数）；
（2）一组新数据ax1，ax2，…axn的平均数
，方差为a2S2（a是常数）；
（3）一组新数据ax1＋b，ax2＋b，…axn＋b的平均数
，方差为a2S2（a、b是常数）．
例1、甲、乙两个芭蕾舞团的女演员的身高分别为（单位：cm）
甲团：163，164，164，165，165，166，166，167
乙团：163，165，165，166，166，167，168，168
哪个芭蕾舞团女演员的身高更整齐？
解：
例2、某班全体学生进行一次篮球投篮练习，每人投球10个，每投进一球得1分，得分的部分情况如下表所示：
得分
0
1
2
…
8
9
10
人数
7
5
4
…
3
4
1
已知该班学生中，至少得3分的人的平均得分为6分，得分不到8分的人的平均得分为3分．那么该班学生有多少人？
解：
设该班学生有x人，则有
（x－4－5－7）×6＋2×4＋1×5=（x－3－4－1）×3＋8×3＋9×4＋10×1
解得x=43．
答：该班学生有43人．
例3、一组互不相等的数据，它的中位数为80，小于中位数的数的平均数为70，大于中位数的数的平均数为96，设这组数据的平均数为
，则有（ ）
A．
B．
C．
D．
解：
若数据有2n个，则
．
若数据有（2n＋1）个，则
∵n≥1．
．
例4、一次测验共出5道题，做对一题得1分，已知26人的平均分不少于4.8分，最低得3分，至少有3人得4分，则得5分的有多少人．
解：
设得3分的有x人，得4分的有y人，则得5分的有（26－x－y）人．
由题意，5×（26－x－y）＋3x＋4y≥125．
2x＋y≤5．
又x≥1，y≥3．
∴x=1，y=3．
∴26－x－y=26－1－3=22．
即得5分的有22人．
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