一、应用方差证明不等式
已知x＋y＋z=a，求证：x2＋y2＋z2≥
a2.（俄罗斯竞赛题）
证明：设x2＋y2＋z2=w.
由方差公式，得：x，y，z的方差为：S2=
[(x2＋y2＋z2)－
(x＋y＋z)2]= 
(w－
a2).
∵S2≥0，∴
(w－
a2)≥0. ∴w≥
a2，
即：x2＋y2＋z2≥
a2.
点评：本题是用方差解题的一道基本问题，突破口是将三数相加的值设为w，通过方差公式得出结论.这题看似简单，但利用除方差公式以外的方法证明却往往没有思路，变得十分棘手.由此可见，要把方差公式巧妙地运用，不仅要对公式有很深刻的了解，而且还要学会如何通过条件入手，如：看到“三数平方和”或是“三数相加”等条件，就可以把它同方差联系起来进行求解。
二、应用方差解方程
解方程：
＝x＋y＋z＋9.
解：
则：x=a2，y=b2＋1，z=c2＋2，原方程可化为4(a＋b＋c)=a2＋b2＋c2＋12.
∴a2＋b2＋c2=4(a＋b＋c)－12.
由方差公式，得：a，b，c的方差为：
∵S2≥0，∴(a＋b＋c－6)2≤0. ∴a＋b＋c=6. ∴S2=0，∴a=b=c=2.
∴x=4，y=5，z=6.经检验，x=4,y=5,z=6是原方程的解.
点评：本题的关键在于将三个根号都用相应的未知数代替，然后由相应未知数的方差公式得出唯一的一种可能，最后求出原值.
