| 反比例函数的图象及性质（一） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
一、反比例函数的图象
①反比例函数的图象由两条曲线组成．并且随着|x|的不断增大（或减小），曲线越来越接近x轴（或y轴），反比例函数的图象属于双曲线．
②反比例函数的图象关于原点对称.
即点P（a，b）在反比例函数的图象上，则
（－a，－b）也在反比例函数的图象上.
③反比例函数的图象与x轴、y轴没有交点．
二、比例函数k的几何意义
如图，过双曲线上任一点P（x，y）作x轴、y轴的垂线PN、PM，矩形PMON的面积S=PM·PN=|x|·|y|=|xy|=|k|．
即在反比例函数
的图象上任取一点向两坐标轴作垂线，则两条垂线段与两坐标轴所围成的矩形的面积等于|k|，且这个面积的值与取点的位置无关．
三、反比例函数图象的性质
①当k＞0时，反比例函数的图象位于第一、三象限，在每个象限内，y值随x值的增大而减小；
②当k＜0时，反比例函数的图象位于第二、四象限，在每个象限内，y值随x值的增大而增大．
例1、已知，如图，反比例函数的图象经过点A、B，点A的坐标为（1，3），点B的纵坐标为1，点C的坐标为（2，0）．
（1）求该反比例函数的解析式；
（2）求直线BC的解析式．
解：
（1）设反比例函数解析式为
.
∵A（1，3）在反比例函数图象上，
∴k=xy=1×3=3.
∴反比例函数解析式为
.
（2）设B点坐标为（xB，1）.
∵点B在反比例函数
图象上，
，即xB=3．
∴B点的坐标为（3，1）.
设直线BC的解析式为y=mx＋b.
（备注：视频中方程组书写有误，将x改为m）.
故直线BC的解析式为y=x－2．
例2、已知反比例函数
的图象在第二、四象限，求m的值．
解：
∵
是反比例函数，
∴3－m2=－1.
∴m2=4，即m=±2.
又∵反比例函数图象在第二、四象限，
∴m－1＜0即m＜1.
∴m=－2．
例3、在反比例函数
的图象上有两点，A（x1，y1）、B（x2、y2），当x1＜0＜x2时，有y1＜y2，则m的取值范围是__________．
解析：
若函数图象在第二、四象限，即1－2m＜0，
，由x1＜0＜x2知，此时A在第二象限，B在第四象限，即y1＞0，y2＜0，与y1＜y2矛盾．
若函数图象在第一、三象限，即1－2m＞0，
，由x1＜0＜x2知A在第三象限，B在第一象限，即y1＜0，y2＞0能满足y1＜y2．
∴m的取值范围是
.
例4、在函数
的图象上有三点（x1，y1），（x2，y2），（x3，y3），且x1＜x2＜0＜x3，则函数值y1、y2、y3的大小关系是__________．
解答：
∵－a2－2=－（a2＋2）＜0，
∴在每一个象限内y随x的增大而增大．
且函数分布在第二、四象限内，如图所示（图象见视频）．
∵x1＜x2，∴y1＜y2.
∵（x3，y3）在第四象限，而（x1，y1）和（x2、y2）在第二象限．
∴y3＜y1，y3＜y2，
∵y3＜y1＜y2．
例5、已知正比例函数y=kx与反比例函数
的图象都过点A（m，1），求此正比例函数的解析式及另一个交点的坐标．
解：
∵
的图象过点A（m，1）
∴m=3．
将A（3，1）代入y=kx得
．
∴此正比例函数的解析式为
．
∵正比例函数与反比例函数的图象都是关于原点对称的，
∴其交点也是关于原点对称的．
故另一个交点的坐标是（－3，－1）．
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