| 反比例函数的图像和性质（二） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
例1、如图，已知A（－4，2）、B（2，－4）是一次函数y=kx＋b的图象和反比例函数
的图象的两个交点.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）求直线AB与x轴的交点C的坐标及三角形AOB的面积.
解：
（1）∵A点在反比例函数的图象上，∴m=xy=－4×2=－8.
∴反比例函数的解析式为
.
又∵A（－4，2）、B（2，－4）都在直线上，
.
∴一次函数的解析式为y=－x－2.
（2）当y=0时，－x－2=0，x=－2，∴C点的坐标为（－2，0）.
过A作AE⊥x轴于E点，过B作BF⊥x轴于F点.
∴S△AOB=S△AOC＋S△BOC=
.
例2、如图，已知直线
与双曲线
交于A、B两点，且点A的横坐标为4.
（1）求k的值；
（2）若双曲线上一点C的纵坐标为8，求△AOC的面积.
解：
（1）∵A点的横坐标为4，且A点在直线上.
∴当x=4时，
，∴A（4，2）.
又∵A点在双曲线上，∴k=xy=4×2=8.
（2）∵C点的纵坐标为8，且C点在双曲线上，∴
，即x=1.
∴C点坐标为（1，8）.
∵
.
又
.
∴
.
例3、如图，在直角坐标平面内，函数
（x＞0，m是常数）的图象经过A（1，4），B（a，b），其中a＞1，过点A作x轴垂线，垂足为C，过点B作y轴垂线，垂足为D，连结AD、DC、BC，若△ABD的面积为4，求点B的坐标.
解：
∵A（1，4）在函数
的图象上，∴m=xy=4.
∴反比例函数的解析式为
.
∵B（a，b）在反比例函数图象上，∴
，即
.
∵BD⊥y轴，∴BD=a，又∵AC⊥x轴，∴AC=4，EC=
.
∴
.
∴
，解得a=3.
∴B点坐标为
.
例4、如图，Rt△ABO的顶点A是直线y=－x＋（k＋1）与双曲线
在第四象限的交点，AB⊥x轴于B，且
（1）求这两个函数关系式；
（2）求直线与双曲线的两个交点A、C的坐标和△AOC的面积；
（3）问是否存在点P在x轴上，使△ACP的面积是△AOB的面积的10倍？若存在，请求出P点坐标.
解：
（1）设A点的坐标为（x，y），
.
∴|k|=3，又函数经过二、四象限，∴k<0，即k=－3.
∴直线的解析式为y=－x－2，双曲线的解析式为
.
（2）由
∴A（1，－3），C（－3，1）.
设直线AC与x轴的交点为D，则D(－2，0).
.
（3）设P点的坐标为（x0，0），则|DP|=|x0＋2|.
.
由题意得
，即
，解得x0=5.5或－9.5.
∴P(5.5，0)或P(－9.5，0).
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