例、如图，在直角坐标系中，O为原点，A(4，12)为双曲线
上的一点．
(1)求k的值；
(2)过双曲线上的点P作PB⊥x轴于B，连接OP，若Rt△OPB两直角边的比值为
，试求点P的坐标．
(3)分别过双曲线上的两点P1、P2，作P1B1⊥x轴于B1，P2B2⊥x轴于B2，连结OP1、OP2．设Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的周长分别为l1、l2，r1是Rt△OP1B1内一点M1到各边之和，r2是Rt△OP2B2内一点M2到各边之和，且点M1、M2分别到Rt△OP1B1、Rt△OP2B2各边的距离相等，若
分析：(1)由A(4，12)是双曲线
上的一点，把A(4，12)代入
中即可求出k的值；(2)Rt△OPB两直角边的比值为
，即
注意分两种情况讨论；(3)通过Rt△OP1B1、Rt△OP2B2的面积关系寻找解决问题的方法．
解：(1)依题意得
(2)由(1)得双曲线解析式为
设P(m，n)，
即mn=48．
(3)在Rt△OP1B1中，设OB1=a1，P1B1=b1，OP1=c1，
则P1(a1，b1)，由(2)得a1b1=48；
在Rt△OP2B2中，设OB2=a2，P2B2=b2，OP2=c2，
则P2(a2，b2)，由(2)得a2b2=48．
反思：(3)正确理解
是解决本题的关键．
