| 二次根式 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1.二次根式定义：形如
（a≥0）的式子，叫做二次根式.
2.二次根式的性质：
①
≥0(a≥0)
这是因为
(a≥0)表示a的算术平方根，根据算术平方根的意义，当a>0时，
>0，当a=0时，
= 0 . ∴
≥0.利用这一性质，可以解决下面问题：若
，
则x=－2，y=2；
②(
)2= a (a≥0)，在探究这一性质时，教科书所采用的方法是不完全归纳法，而根据算术平方根的意义有：如果x2=a(x≥0)，则x=
，所以代入上式得(
)2=a．
③
= a (a≥0) ，根据算术平方根的意义该性质的推导过程应是：因为当a≥0时，a2的算术平方根是a, 所以
.
3.代数式：用基本运算符号(基本运算符号包括加、减、乘、除、乘方、开方)把数和表示的数的字母连接起来的式子，叫代数式.
4.利用二次根式性质化简：利用
=a(a≥0)化简某些代数式时，一般应将被开方数化为完全平方式，如化简
(x>－1)=
.
典例讲解
例1、填空题：
（1）式子
中x的取值范围是______________.
（2）当x满足条件______________时，式子
有意义.
（3）当x=______________时，
有最小值，最小值是______________.
（4）如果
是正整数，那么x能取的最小自然数是______________.
答案：
（1）x>－2 （2）x≥0且x≠1
（3）－25；9 （4）6
例2、选择题：
（1）化简
的值为（ ）
A. 4 B.－4 C.±4 D. 16
（2）下列各组数中，互为相反数的是（ ）
A. －2与
B.
C.－2和
D. 2和
（3）若x≥0，那么
等于（ ）
A. x B.－x C.－2x D. 2x
（4）当a≥1，则
=（ ）
A.2a－1 B. 1－2a C.－1 D. 1
（5）在实数范围内分解因式：x2－3=（ ）
A. (x＋3)(x－3) B. (x＋
)(x－
)
C. (x＋
)(x－
) D. (x＋9)(x－9)
答案：（1）A （2）A （3）B （4）A （5）C
例3、用带有根号的式子表示：
（1）已知一个正方体的表面积是S.求它的棱长.
解：设它的棱长为x，则
所以
．
故它的棱长为
．
（2）一个圆的半径是10cm，是它面积2倍的正方形的边长为多少？
解：设这个正方形的边长为xcm.
则
所以
．
正方形的边长为
㎝．
例4、计算：
(1)
(2)
(3)
(4)
解：
(1)
=
(2)
=63
(3)
=3＋2=5
(4)
=
例5、已知|x＋y－7|＋
，求x2＋y2的值.
解：
由已知得：
∴
所以，原式=(x＋y)2－2xy=72－2×12=25．
例6、已知实数a满足
,求a－20082的值.
解：
因为
所以a≥2009，所以2008－a<0，
所以原等式可化为：
，
所以
，所以a－2009=20082，
所以a－20082=2009．
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