| 实际问题与一元二次方程(1) |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1. 列一元二次方程解应用题的一般步骤：
（1）列一元二次方程解应用题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”．
（2）学习列一元二次方程解应用题时应类比前面学习的列方程(组)，道理和方法基本相同.在解此类问题中，关键一步是“列”， “列”的含意有两层，一层是找等量关系，另一层是建立一元二次方程，列一元二次方解应用题，检验一步，主要检验是否符合实际问题.
2. 列方程解应用题应注意的问题：
（1）设未知数要恰当，一是便于用所设的未知数列方程；二是所列的方程简单易解，当直接设元较困难时，可间接设元．
（2）由等量关系列方程时，一是注意方程两边是同一量，二是注意单位的统一．
（3）所解的的方程的解不一定是实际问题的解，应注意检验，舍去不符合题意的解．
3. 探究列一元二次方程解决实际问题：
（1）数字问题：会用代数式表示两位数或两位以上的正数．
（2）增长率问题：解这类问题需要牢记公式：b=a(1±x)n，其中a为增长(或降低)的基础数量，x为增长(或降低)率，n为增长(或降低)的次数，b为增长(或降低)后的数量．
典例讲解
例1、一个两位数，十位数字与个位数字之和是5，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得的新的两位数与原来的两位数的乘积为736，求原来的两位数．
思路点拨：
相等关系：新两位数×原两位数=736．
解：
设原来两位数的个位数字为x，则十位数字为5－x，原来的两位数为10（5－x）＋x，
依据题意得
[10x＋(5－x)]·[10(5－x)＋x]=736．
整理得x2－5x＋6=0，解得x1=2，x2=3．
当x=2时，5－x=3，符合题意，原来的两位数为23；
当x=3时，5－x=2，符合题意，原来的两位数为32．
答：原来的两位数是23或32．
例2、某科技公司研制成功一种新产品，决定向银行贷款200万元资金用于生产这种产品，签订的合同上约定两年到期一次性还本付息，利息为本金的8％．该产品投放市场后，由于产销对路，使公司在两年到期时除还清贷款的本金和利息外，还盈余72万元．该公司在生产期间每年比上一年资金增长的百分数相同，求这个百分数．
思路点拨：
注意关键词“一次性还本付息”．相等关系：总资金=本息和盈余．
解：
设这个百分数为x，依题意得
200(1＋x)2=72＋200(1＋8％)
整理化简得200(1＋x)2=288，
即(1＋x)2=1.44
解方程得x1=0.2，x2=－2.2(不合题意，舍去)．
答：该公司年资金增长的百分数为20％．
例3、某商场将某种商品的售价从原来的每件40元经两次调价后调至每件32.4元.
(1)若该商场两次调价的降价率相同，求这个降价率.
(2)经调查，该商品每降价0.2元，即可多销售10件，若该商品原来每月销售500件，那么两次调价后，每月可销售该商品多少件？
解：
（1）设这个降价率为x，则：40(1－x)2=32.4
∴(x－1)2=0.81 ，
∴x－1=0.9或－0.9
∴x1=1.9(舍) x2=0.1=10%，
故这个降价率为10%．
（2）两次调价后，每月可销售该商品的件数为
500＋
×(40－32.4)=880件.
例4、制造一种产品，原来每件的成本价是500元，销售价为625元，经市场预测，该产品销售价第一个月将降低20%，第二个月比第一个月提高6%，为了使两个月后的销售利润达到原来水平，该产品的成本价每月应降低百分之几？
解：
设该产品的成本价每月应降低的百分数为x.
则625×(1－20%)(1＋6%)－500(1－x)2=625－500，
即(x－1)2=0.81，
∴x－1=±0.9
∴x1=1.9，x2=0.1=10%．
∵0<x<1 ，∴x=10%．
故该产品的成本价每月应降低10%.
例5、云南省是我国花卉产业大省，一年四季都有大量鲜花销往全国各地，花卉产业已成为云南省许多地区经济发展的重要项目．近年来某乡的花卉产值不断增加，2007年花卉的产值是640万元，2009年产值达到1000万元．
(1)2008年、2009年花卉产值的年平均增长率是多少?
(2)若2010年花卉产值继续稳步增长(即年增长率与前两年的年增长率相同)，那么请你估计2010年这个乡的花卉产值将达到多少万元?
思路点拨：
抓住增长率公式a(1＋x)2=b．
解：
(1)设花卉产值的年平均增长率为x，依题意得
640(1＋x)2=1000，
即(1＋x)2=
，
解得
(舍去)．
答：花卉产值的年平均增长率为25％．
(2) 1000(1＋25％)=1250(万元)．
答：估计2010年这个乡的花卉产值达1250万元．
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