| 实际问题与一元二次方程(2) |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1．面积问题
解这类问题的关键是将不规则图形分割或组合成规则图形，找出各部分面积之间的关系，再运用规则图形的面积公式列方程．
2．商品利润问题：销售利润=(售价一进价)×销售量．利润率=(售价一进价)÷进价
3．质点运动问题：质点运动问题处理的一般方法：设出运动的时间或路程为x，再用含x的代数式表示相关的线段，从而建立方程．
典例讲解
例1、如图（1），某小区规划在一个长40m，宽26m的矩形场地ABCD上修建三条同样宽的甬道，使其中两条与AB平行．另一条与AD平行，其余部分种草，若使每块草坪的面积为144m2，求甬道的宽(AD>AB)．
（1）（2）
思路1：直接求解．设甬道宽为xm，用含x的代数式表示出甬道的总面积．
思路2：平移图形，如图（2），用含x的代数式表示草坪的面积．
解法1：
设甬道宽为xm，由题意得
144×6＋26x×2＋40x－2x2=40×26，
整理得x2－46x＋88=0，
解得x1=2，x2=44(不合题意，舍去)．
答：甬道宽为2m．
解法2：
设甬道宽为xm，将图（1）中三个矩形移至边界，如图（2）所示，
则DE=(40－2x)m，EF=(26－x)m．
∴(40－2x)(26－x)=144×6，
整理得x2－46x＋88=0．
以下同解法1，略．
例2、某商店购进一种商品，单价30元，试销中发现这种商品每天的销售量p(件)与每件的销售价x(元)满足关系：p=100－2x．若商店每天销售这种商品要获得200元的销售利润，那么每件商品的售价应为多少元?每天要售出这种商品多少件?
思路点拨：相等关系：销售利润=(售价一进价)×销售量．
解：
设每件商品的售价应为x元，由题意得
(x－30)(100－2x)=200，
整理得x2－80x＋1600=0，
解得x1＝x2=40．
∴100－2x=100－40×2=20(件)．
答：每件商品的售价应为40元，每天要售出这种商品20件．
例3、小明的爸爸下岗后，自谋职业做起了经营水果的生意．一天，他先去批发市场，用100元购甲种水果，用150元购乙种水果，乙种水果比甲种水果多10kg，乙种水果的批发价比甲种水果的批发价每千克高0.50元，然后到零售市场，都按每千克2.80元零售．结果乙种水果很快销完，甲种水果售出
时出现滞销，他便按原零售价的5折售完剩余的水果．请你帮小明的爸爸算算这一天卖水果是赔了钱，还是赚了钱(不考虑其他因素)?若赔钱，赔多少?若赚钱，赚多少?
思路点拨：根据两种水果的数量差列方程．
解：
设甲水果的批发价为x元/千克，依题意得
整理得2x2－9x＋10=0，即(x－2)(2x－5)=0，
解得x1=2，x2=2.5．
虽然x1=2，x2=2.5经检验都是原方程的根，
但当x=2.5时，2.5＋0.5=3元高于零售价2.8元，不合题意，舍去．
故x=2符合题意．
∴甲种水果赚钱
乙种水果赚钱
故这一天两种水果共赚钱26＋18=44(元)．
例4、如图，Rt△ABC中，AB=6，BC=8，点P从点A出发，以1个单位/秒的速度向B移动．同时，点Q从点B出发，以2个单位/秒的速度向点C移动．若其中一个点到达终点，另一个点也随之停止移动．
(1)几秒后△PBQ面积为5个平方单位?
(2)△PBQ面积可能等于△ABC面积的一半吗?说明理由．
(3)△PBQ面积有最大值吗?若有，求出运动时间；若没有，说明理由．
思路点拨：
用含有n的代数式表示相关线段，在(3)中可以运用配方法求最大值．
解：
设P、Q同时运动时间为t秒，
∴PB=6－t，BQ=2t，S△PBQ=
PB·BQ=
(6－t)×2t=6t－t2．
(1)S△PBQ=5时，6t－t2=5，t1=1，t2=5．
当t=5时，BQ=10>BC，不合题意应舍去，∴t=1．
故1秒后△PBQ的面积为5个平方单位．
(2)S△PBQ=
S△ABC=
×(
×6×8)=12，
6t－t2=12，方程t2－6t＋12=0无实根，
故△PBQ面积不可能等于△ABC面积的一半．
(3)S△PBQ=6t－t2=－(t2－6t)=－(t2－6t＋9－9)=－(t－3)2＋9，
故P、Q都运动了3秒时，△PBQ的面积最大为9个平方单位．
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