| 图形的旋转 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1、旋转的概念：
①旋转的定义：在平面内，把一个图形绕着某点转动一个角度的图形变换叫做旋转，这一点叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角．
②旋转变换和平移变换一样，只改变图形的位置，不改变图形的形状大小，这两种变换我们都称为全等变换．
③下列生活现象：（1）公园里荡秋千，（2）用扳手钮螺母，（3）两个儿童玩跷跷板等都属于图形旋转．
2、旋转中心和旋转角：如果图形上任意一点P，经过旋转变换对应点为P′，旋转中心为O，那么旋转角为
．
3、旋转的性质
图形的旋转特征是：图形中每一个点都绕着旋转中心旋转了相同的角度；即对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角；对应点到旋转中心的距离相等；对应线段相等，对应角相等，图形的形状大小都没有发生变化．
4、旋转图形的作图与设计：
旋转作图有三要素：一是旋转中心，二是旋转方向，三是旋转角．
典例讲解
例1、填空题
1、如图，把Rt△ABC斜边AB放在定直线l上，∠CAB=30°，将△ABC按如图方式旋转．
（1）第一次旋转中心是__________，旋转角度为__________．
（2）第二次旋转中心是__________，旋转角度为__________．
答案：（1）点B；120°（2）点C；90°
2、如图，在△ABC中，
，将其绕点B顺时针旋转60°，得到△A1BC1，连接AA1、CC1，则∠A1BC1=__________度，∠ABA1=__________度，∠C1BC=__________度，AC=__________，图中有__________个等边三角形，它们分别是__________．
答案：120，60，60，A1C1，两，△A1AB和△BCC1
例2、已知：如图在
中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC．
（1）试猜想AE与BF有何关系？说明理由．
解：
BF．
理由：∵△ABC绕点O顺时针旋转180°得到△FEC，则△ABC≌△FEC，
且点A、C、F三点共线，点B、C、E三点共线，即AF、BE互相平分，
∴四边形ABFE是平行四边形．
∴AE
BF．
（2）若△ABC的面积为3cm2，求四边形ABFE的面积．
解：
由（1）得四边形ABFE是平行四边形，
∴
．
∵S△ABC=3cm2，∴
=12cm2．
（3）当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由．
解：
当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形．理由：
∵AB=AC，∠ACB=60°
∴△ABC是等边三角形，∴AC=BC．
由（1）得AC=CF，BC=CE．
∴AF=BE，由（1）知四边形ABFE是平行四边形，
∴四边形ABFE是矩形．
例3、如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，OE⊥OF，若AE=8、CF=6，求EF的长．
解：
正方形ABCD，∠BCD=90°
∠4=
，∴∠4=45°，
同理可得：∠5=45°，∴∠4=∠5．
∵∠2＋∠3=∠1＋∠2=90°，
∴∠3=∠1．
∵OB＝OC，∴△OBE≌△OCF（ASA），
∴BE＝CF＝6，BC＝AB＝14，
∴BF＝8，∵∠EBF＝90°，∴EF＝
．
例4、已知P为等边△ABC内一点，PA=2，PB=
，PC=4．求△ABC中∠APB的度数．
解：
将△PBC绕点B顺时针旋转60°得到△P′BA，连接PP′．
则△PBC≌△P′BA．
∴BP=BP′=
．
而∠PBP′=60°，
∴△PBP′是等边三角形，
∴∠2=60°，PP′=BP =
．
∵
，
∴
，∴∠1=90°．
故∠APB=∠1＋∠2=150°．
例5、如图，用两个全等的等边三角形△ABC和△ACD拼成菱形叠合，使三角尺的60°角的顶点与点A重合，两边分别与AB、AC重合.将三角尺绕点A按逆时针方向旋转．
① ②
（1）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD相交于点E，F时（如图①），通过观察或测量BE，CF的长度，你能得出什么结论？并证明你的结论．
（2）当三角尺的两边分别与菱形的两边BC，CD的延长线相交于点E，F时（如图②），你在（1）中得到的结论还成立吗？简要说明理由．
解：
（1）BE=CF．
∵正△ABC中，∠1＋∠2=60°，而∠2＋∠3=60°，∴∠1=∠3．
∵正△ABC和正△ACD中AB=AC，∠B =∠4=60°，（视频中90°应为60°）
∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF．
（2）（1）中结论仍成立．
∵△ACF可以看作△ABE绕点A逆时针旋转60°得到的．
∴△ABE≌△ACF，∴BE=CF．
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