| 垂直于弦的直径 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1、圆的对称性：圆是轴对称图形，任一条直径所在的直线都是它的对称轴.
2、垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧.
3、垂径定理的推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧.
4、垂径定理的应用：
①用直尺和圆规平分一条弧.作法是过圆心作弧所对弦的垂线，理由是垂径定理；
②在利用垂径定理计算或证明时，我们通常将其化为一个直角三角形的边和角，这个特殊直角三角形的三边分别是半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段.
典例讲解
例1、如图，已知以点O为公共圆心的两个同心圆，大圆的弦AD交小圆于B、C.
(1)求证：AB=CD
(2)如果AD=6cm，BC=4cm，求圆环的面积.
(1) 证明：过点O作OH⊥于点H，
则AH=DH，BH=CH
∴AH－BH=DH－CH
即AB=DC
(2)解：连接OA、OB
由(1)得AH=HD，BH=HC
∴AH=
=3cm，BH=
∴OA2=AH2＋OH2=9＋OH2，OB2=BH2＋OH2=4＋OH2
∴OA2－OB2=5(cm2)
故圆环的面积为
例2、如图，AB为⊙O的直径，AB=26cm，CD为⊙O弦，CD=24cm，AB⊥CD于点E，延长CB到点F，使BF＝CB，连DF.求DF的长.
解：
∵AB⊥CD，AB是直径，
∴DE=EC
∵BF＝CB，∴BE∥DF，
∴CE=EF
∴DF=2BE
连接OD，则OD=
∵
∴
∵OB=13cm，∴BE=8cm
∴DF=16cm
例3、在直径为10m的圆柱形油槽内装入一些油后，截面如图所示，如果油面宽AB=8m，那么油的最大深度是多少？
解：
过点O作OD⊥AB于点C交
于点D，
则AC=CB.
∴CD的长是油的最大深度，连接OA，则OA=5m
∵AC=
=4cm
∴
∵OD=5m，∴CD=OD－OC=2m
故油的最大深度是2m.
例4、如图，MN为半圆O的直径，半径OA⊥MN，D为OA中点，过D作弦BC∥MN.求证：四边形ABOC为菱形.
证明：
∵BC∥MN ，OA⊥MN
∴OA⊥BC，∴DB=DC
∵AD=DO
∴四边形ABOC是平行四边形
∴四边形ABOC是菱形
例5、在半径为1的圆中，弦AB、AC分别长
，则∠BAC的度数为多少?
解：
如图过点O作OD⊥AB于点D，OE⊥AC于点E，
则AD=DB，AE=EC
∴
，AE=
∵AO=1 ，∴
∴
，OE=EA
∴
，
故当AB、AC在点O的两侧时：∠BAC=∠1＋∠2=
当AB、AC在点O的同侧时，∠BAC=∠2－∠1=
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