| 弧、弦、圆心角 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1. 圆心角：我们把顶点在圆心的角叫做圆心角.
2.圆的特性：①圆是中心对称图形，对称中心是圆心；②把圆绕着它的圆心旋转一个任意角度，都与原来的图形重合，这说明圆具有旋转不变性的特性；
利用以上特性，可以得到以下定理
3.定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等.
4. 推论：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，则它们所对应的其余各组量也相等
典例讲解
例1、如图，已知D、E两点分别为⊙O的半径OA、OB的中点，C为
的中点.求证：CD=CE.
证明：
连接OC ，∵
=
，∴∠1=∠2
∵OD=
，OE=
，OA=OB
∴OD=OE
∵OC=OC
∴△OCD≌△OCE（SAS）
∴CD=CE
例2、如图，AB为⊙O的一条弦，AC=BD，半径OE、OF分别经过点C、D，求证：
.
证明：
连接OA、OB
∵OA=OB ，∴∠A=∠B
∵AC=BD ，∴△OAC≌△OBD
∴∠1=∠2，∴
例3、如图，以
的顶点A为圆心，AB为半径作⊙A，交AD、BC于E、F，延长BA交⊙A于G.求证：
.
证明：
连接AF．
∵
中，AD∥BC ，∴∠1=∠B ，∠2=∠3
∵AB=AF ，∴∠B=∠3
∴∠1=∠2，∴
例4、如图，已知AB是⊙O的直径，M、N分别是AO、BO的中点，CM⊥AB，DN⊥AB，求证：
.
证明：
连接OC、OD，则OC=OD
∵OA=OB ，OM=
，ON=
∴OM=ON
∵∠1=∠2=
∴△OMC≌△OND
∴∠3=∠4 ，∴
例5、如图，CD为⊙O直径，以D为圆心，DO为半径作弧，交⊙O于两点A、B，连接OA、OB，探究⊙O中
、
、
所对圆心角的大小关系.
解：
、
、
所对圆心角相等
理由如下：
连接AD、DB，则DA=DO
∵OD=OA，∴OA=OD=AD，∴△AOD为正三角形
∴∠1=
. 同理可证∠2=
∵CD为⊙O的直径
∴∠3=
－∠1=
，∠4=
－∠2=
∵∠AOB=∠1＋∠2=
∴∠3=∠4=∠AOB
∴
、
、
所对圆心角相等
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