| 圆周角 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1.圆周角定义：顶点在圆周上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角.
2.圆周角定理：同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.3.推论：
①同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧一定相等.
②半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径.
③如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形.
4．圆的内接四边形：
①定义：如果一个多边形的所有顶点都在同一圆上，这个多边形叫做圆内接多边形，这个圆叫做这个多边形的外接圆.
②圆内接四边形的性质：圆内接四边形的对角互补.
典例讲解
例1、如图，AB=AC，E、F分别在
上，若∠ABC=
，求：∠BEC和∠BFC的度数.
解：
∵AB=AC ，∠ABC=
，
∴∠A=
，
∴
．
∵∠BFC＋∠BEC=
，
∴∠BFC=
．
例2、如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC于D.若BC=8，ED=2，求⊙O的半径.
解：
∵OD⊥BC，∴BE＝EC，
∵O是直径AB的中点，
∴AC＝2OE，设⊙O的半径为x，
则AB=2x，OE=x－2，AC=2(x－2)，
∵∠C=90°，∴AC2＋BC2＝AB2，
∴4(x－2)2＋64=4x2，
∴x=5．⊙O的半径为5.
例3 如图，已知BC为半圆O的直径，AB=AF，AC交BF于点M，过A作AD⊥BC于D，交BF于E，则AE与BE的大小有什么关系？为什么？
解：
AE=BE.理由：
∵BC是半⊙O的直径
∴∠1＋∠3=
∵∠4=
，
∴∠3＋∠C=
，
∴∠1=∠C
∵AB=AF
∴∠2=∠C．
∴∠1=∠2．
∴AE=BE．
例4 如图，已知⊙O的直径AB和弦CD，AB⊥CD于E，F为DC延长线上一点，连结AF，交⊙O于M点．求证：∠AMD=∠FMC．
证明：
连接MB．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AMB＝90°
即∠1＋∠4=∠2＋∠3=90°
∵OB⊥CD
∴∠3=∠4
∴∠1=∠2
即∠AMD=∠FMC．
例5、如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径作⊙O交BC于点D，作∠BAC的外角平分线AE交⊙O于点E，连接DE．求证：DE=AB．
证明：
连接AD，
∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，即AD⊥BC
∵AB＝AC，∴AD平分∠BAC，
∴∠2＝
∠BAC，
∵AE平分∠CAF，∴∠1＝
∠CAF，
∵∠BAC＋∠CAF＝180°
∴∠1＋∠2＝90°，
∴DE是⊙O的直径
∴AC＝DE
于是DE＝AB
此题也可以运用角的代换，证明四边形ABDE为平行四边形得到DE＝AB．
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