(1)如图(1)当点P在线段AO上时，则∠OQC=∠OCP=x
由∠QPO=∠OCP+∠COP得
，解得x=40°
即∠OCP=40°；
(2)如图(2)当点P在OB的延长线时，则∠OQC=∠OCP=x
∵∠OQC=∠QPO+∠QOP
由∠COA=∠OCP+∠CPO，得
，解得x=20°，即∠OCP=20°；
(3)如图(3)，当点P在OA的延长线上时，则∠OQC=∠OCQ=180°-x
由∠QCO=∠CPO+∠COP
得
解得x=100°，即∠OCP=100°；
(4)当P在线段OB上时，PQ<QO，所以符合要求的点P不存在．
综上所述，符合条件的点P共有3个：当点P在线段AO上时，∠OCP=40°；
当点P在OB的延长线上时，∠OCP=20°；当点P在线段OA的延长线上时，∠OCP=100°．
例2、如图（1），AB是半圆O的直径，AC是弦，点P从点B开始，沿BA边向A点以1cm/s的速度移动．若AB的长为10cm，点O到AC的距离为4cm．
或4s或5秒后，△APC是等腰三角形．