| 直线和圆的位置关系（1） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1.直线和圆的位置关系：
①相交：直线和圆有两个公共点，这时说这条直线和圆相交；这条直线叫做圆的割线；
②相切：直线和圆有唯一公共点，这时说这条直线和圆相切；这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点.
③相离：直线和圆没有公共点，这时说这条直线和圆相离．
2.直线和圆的位置关系的判定：
（1）定理：若⊙O的半径为R，圆心到直线l的距离为d. 则
直线l与⊙O相交
d﹤R；
直线l与⊙O相切
d =R；
直线l与⊙O相离
d﹥R；
（2）“圆心到直线的距离d和半径R的数量关系”与“直线和圆的位置关系”之间的对应与等价关系列表如下：
直线与圆的位置关系
相交
相切
相离
公共点个数
2个
1个
0个
d与R的关系
d<R
d=R
d>R
典例讲解
例1、填空题
1.在Rt△ABC中，∠C=
，AC=3cm，AB=6cm，以点C为圆心，与AB边相切的圆的半径为_________cm.
2.如图，⊙O的半径OD为5cm，直线l⊥OD，垂足为O，则直线l沿射线OD方向平移_________cm时与⊙O相切.
3.已知⊙O的直径为6cm，如果直线l上的一点C到圆心的距离为3cm，则直线l与⊙O的位置关系是_________.
4.⊙O的半径为R，圆心O到直线l的距离d与R是方程x2－6x＋9=0的两个实数根，则直线l和⊙O的位置关系是_________.
答案：1.
2. 5 3. 相切或相交 4. 相切
例2、如图，△ABC中，AB=4，∠C=
，∠B=
，AO=x，O在AB边上，且⊙O的半径为1，问当x在什么范围内取何值时，AC与⊙O相离、相切、相交？
解：
过点O作OD⊥AC于点D，则OD=
∴当OD<1即x<2时直线AC与⊙O相交，
当OD=1即x=2时，直线AB与⊙O相切，
当OD>1，即2<x≤4时，AC与⊙O相离.
例3、如图，在△ABC中，E、F分别是AC、BC的中点，CD⊥AB于D，垂足为D，且CD=EF，求证：以EF为直径的圆与AB相切.
证明：
取EF的中点O，过点O作OH⊥AB于点H，
设CD交EF于点G，则点O为以EF为直径的圆的圆心.
∵E、F分别是CA、CB的中点，
∴EF∥AB ，∴CG=GD ，∴GD=
．
∵CD⊥AB ，∴OH=GD．
∵CD=EF ，∴OH=
．
故以EF为直径的圆与AB相切．
例4、如图，公路MN和公路PQ分别在P点处交汇，且∠QPN=
，点A处有一所中学，AP=160m，假设拖拉机行驶时，周围100m内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声的影响？请说明理由.如果受影响，当拖拉机的速度为18km/h时，学校受影响的时间为多少秒？
解：
受影响，理由：
过点A作AB⊥MN于点B，
∵∠1=
, ∴
．
∴受影响；以点A为圆心，100m为半径画圆交MP于点C1、C2，连接AC1、AC2，则拖拉机由C1行驶到C2时，学校受影响．
∵AC1=AC2=100m，∴C1C2=2BC1 ．
∴
，∴C1C2=120m．
故学校受影响的时间为(
)×3600=24(s)．
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