| 直线和圆的位置关系（2） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；
①分析切线的判定定理与前一节课所学习的定理比较，切线的判定定理是由圆心到直线的距离等于半径所得到的；
②在判断一条直线是圆的切线时，一般有两种类型：一种是直线经过圆上一点，具体方法是连接这一点和圆心；另一种是不知道直线是否经过圆上一点，具体方法是，过圆心作直线的垂线，证明垂线段等于半径.
2．切线的性质：
①定理的内容是切线垂直于过切点的半径；
②切线和圆心的距离等于半径；
③经过圆心且垂直于切线的直线必过切点；
④经过切点垂直于切线的直线必过圆心.
综上所述，在解决有关圆的切线的问题，连接圆心和切点的线段是最常见的辅助线.
典例讲解
例1、如图，已知等腰△ABC中，点O在BC上，以点O为圆心作圆，分别切两腰于D、E两点，AB=10cm，BC=12cm.求⊙O的半径.
解：
连结OD、OE、OA，则OD=OE.
∵AB切⊙O于点D ， ∴OD⊥AB．
∵AC切⊙O于点E ， ∴OE⊥AC．
∴AO平分∠BAC ，
∵AB=AC=10cm，∴∠B＝∠C．
∵OD＝OE，∴△OBD≌△OCE，
∴BO=OC ，即OB=
BC=6cm．
∵AO⊥BC
∴
∵
∴
=4.8cm
故⊙O的半径为4.8cm.
例2、如图，AB是⊙O的直径，BC切⊙O于点B，AD∥CO.求证：CD是⊙O的切线.
证明：
连接OD．
∵AD∥CO，∴∠3 =∠5，∠A=∠4，
∵OA=OD，∴∠A=∠5．
∴∠4=∠3．
∵OD=OB，OC=OC，
∴△OCD≌△OCB， ∴∠1=∠2．
∵BC切⊙O于点B，
∴∠2=
，∴∠1=
，
∴OD⊥CD．
∵OD是⊙O的半径，
∴DC是⊙O的切线.
例3、在图1和图2中，已知OA=OB，AB=24，⊙O的直径为10.
(1)如图1，若AB与⊙O相切于点C，试求OA的值.
(2)如图2，若AB与⊙O相交于D、E两点，且D、E均为AB的三等分点,试求OA的值.
解：
(1)连接OC
∵AB与⊙O相交于点C
∴OC⊥AB ，∵OA=OB
∴AC=CB，即AC=
AB=12
∵OC=5 ，∴
(2)过点O作OF⊥AB于点F，则DF=FE＝4．
连接OD，则OD=5，
∵DE=
=8，∴DF=
DE=4，
∴
，AF＝AO＋DF＝12，
∴
．
例4、如图，已知等边△ABC，以边BC为直径的半圆与边AB、AC分别交于点D、点E，过点D作DF⊥AC，垂足为点F.
(1)判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论.
(2)过点F作FH⊥BC、垂足为点H.若等边△ABC的边长为4.求FH的长.(结果保留根号)
解：
(1)DF与⊙O相切，连接OD，则OD=OB．
∵等边△ABC中，∠C=
，∠B=
，
∴△OBD是正三角形，
∴∠1=∠C=
．
∴OD∥AC，
∵DF⊥AC，∴DF⊥OD
∵OD是⊙O的半径，∴DF与⊙O相切．
(2)连接DC．∵BC是⊙O的直径，
∴∠BDC=
．
∵正△ABC中，CA=CB=4，
∴AD=DB ，即
．
∵∠A=
，∠AFD＝90°，
∴∠2=
，AF=
AD=1，∴FC=AC－AF=3．
∵∠FHC=
，∠ACB=
，∴∠3＝30°，
∴HC=
FC=
，∴FH=
．
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