例、(西宁)已知:如图,AB为⊙O的直径,AB=AC,⊙O交BC于D,DE⊥AC于E.
(1)请判断DE与⊙O的位置关系,并证明;
(2)连接AD,若⊙O的半径为
,AD=3,求DE的长.

分析:
(1)要判断DE是⊙O的切线,只要证明DE垂直于过切点的半径,即DE⊥OD即可;
(2)有Rt△ADC中根据勾股定理求出DC,根据△ACD的面积等于
可以求出DE.
(1)解:DE与⊙O相切
证明:连接AD、OD,
∵AB为⊙O的直径,
∴∠BDA=90°,
∴AD⊥BC.
又∵AB=AC,
∴BD=DC,
又∵OB=OA,
∴OD是△ABC的中位线,
∴OD∥AC.
又∵DE⊥AC,
∴DE⊥OD,
∴DE是⊙O的切线.

(2)解:若⊙O的半径为
,则AB=AC=5,
在Rt△ADC中,AD=3,AC=5,
∴DC=
,
又∵AC·DE=AD·DC,
∴DE=
.
点评:
本题考查了切线的判定.要证某线是圆的切线,已知此线过圆上某点,连接圆心与这点(即为半径),再证垂直即可.