| 直线和圆的位置关系（3） |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1．切线长：
①切线长定义：经过圆外一点作圆的切线，把这点和切点之间的线段的长度，叫做这一点到圆的切线长.
②切线长定理：从圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角.
即如图，PA、PB是⊙O的切线，A、B为切点，连结PO，则PA=PB，PO平分∠APB.
2．三角形的内切圆：
①定义：与三角形三边都相切的圆叫三角形的内切圆，这个三角形叫做圆的外切三角形；内切圆的圆心是三角形三条角平分线的交点，叫做三角形的内心.
②确定圆心的方法：作圆的一个外切三角形的两条角平分线，其交点为此圆的圆心．
③三角形内心的性质：
一是三角形的内心到三边的距离相等；
二是三角形的内心必在三角形的内部；
三是三角形的内心到每个角的顶点的连线分别平分这个角．
典例讲解
例1、已知：如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，BC是直径．求证：AC∥OP．
证明：
连接AB．
∵BC是⊙O的直径，
∴∠CAB＝90°，即CA⊥AB．
∵PA、PB为⊙O的切线，A和B是切点，
∴PA＝PB，PO平分∠BPA，
∴OP⊥AB，
故AC∥OP．
例2、如图，已知E是△ABC的内心，∠A的平分线交BC于点F，且与△ABC的外接圆相交于点D．求证：DE=BD．
证明：
∵E是△ABC的内心，
∴∠4=∠5，∠2=∠3．
又∵∠l=∠5，∴∠1=∠4．
又∵∠DBE=∠l＋∠2，∠DEB=∠3＋∠4，
∴∠EBD=∠DEB，
∴DE=BD．
例3、如图，⊙O为△ABC的内切圆，H为⊙O上任意一点，MN切⊙O于H，分别交AB、AC于点M、N，已知△ABC的周长为20cm，BC=6cm，求△AMN的周长.
解：
∵CE、CD分别切⊙O于点E、D，
∴CE=CD．
同理可知DB=FB，EN=NH，HM=MF，AE=AF，
∴CE＋FB=BC=6cm．
∵△ABC的周长为20cm，
∴AC＋AB=14cm，
∴AE＋AF=14－6=8cm．
∴△AMN的周长为：
AM＋AN＋NM=AN＋NE＋AM＋MF=AE＋AF=8cm．
例4、如图所示，AB、CD与直径为AD的半圆O相切于A、D两点，BC与圆相切于点E，若AB=4，CD=9，则半圆O的半径是多少？
解：
过点B作BF⊥CD于点F，则∠1=∠2=
∵BA、CD分别切⊙O于点A、D，AD是⊙O的直径，
∴AB⊥AD，CD⊥AD ，∴∠A=∠D=
∴四边形ABFD是矩形，
∴DF=AB=4，∴CF=5．
∵BC切⊙O于点E ，∴BE=BA=4，CE=CD=9．（视频中此处“CF”应为“CD”）
∴CB=13，∴
，∴AD=12．
故半圆O的半径是6cm.
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