| 圆和圆的位置关系 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1、两圆的位置关系：
(1)两圆外离：两个圆没有公共点，并且每个圆上的点都在另一个圆的外部(如图 (1))．
(2)两圆外切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，每个圆上的其余点都在另一个圆的外部(如图 (2))．
(3)两圆相交：两个圆有两个公共点(如图 (3))．
(4)两圆内切：两个圆有唯一的公共点，并且除了这个公共点以外，其中一个圆上其余的点都在另一个圆的内部(如图 (4))．
(5)两圆内含：两个圆没有公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的内部，两圆同心是两圆内含的一种特例(如图 (5))．
外离和内含统称两个圆相离，外切与内切统称两个圆相切．这样，两个圆的位置关系可分为三大类，即相离、相切、相交．
2、两圆的位置关系的定理：
如果两圆的半径分别为R和r(R>r)，圆心距(两圆圆心的距离)为d，则
另外，我们可以用数轴来反映两圆的位置与两圆半径、圆心距之间的数量关系(如图)．
3、常用辅助线：
作相切两圆连心线，作相交两圆公共弦.
典例讲解
例1、已知⊙A、⊙B、⊙C两两外切，它们的圆心距分别是AB=8cm，BC=13cm，CA=11cm，求这三个圆的半径.
解：
设⊙A、⊙B、⊙C的半径分别为 xcm，ycm，zcm，
则
，解得
故⊙A的半径为3cm，⊙B的半径为5cm，⊙C的半径为8cm.
例2、如图：
与
外切于点P，过点P的直线交
于点A，交
于点B，求证：
∥
.
证明：
连接
、
、
．
∵
与
外切于点P，∴
=
＋
∴
、P、O2三点共线，∴∠1=∠2．
∵
=
，∴∠A=∠1．
∵
=
，∴∠2=∠B，
∴∠A=∠B，∴
∥
．
例3、如图，已知两个等圆
和
相交于A、B两点，
经过点
，求∠
的度数.
解：
∵两个等圆
、
相交于点A、B ，
∴
=
．
∵
经过点O2，∴
=
，
∴△
是正三角形， ∴∠
=
．
连接
、
，则
=
=
=
，
∴四边形AO1BO2是菱形，
∴
．
例4、如图，施工工地的水平地面上，有三根外径都是1米的水泥管，两两相切地堆放在一起，则其最高点到地面的距离是多少？
解：
如图，连接O1O2，O2O3，O3O1，过点O1作AC⊥l于点C，交O2O3于点B，交
于点A，则AC的长为所求之.
∵直径为1m的三个圆两两外切，
∴O1O2=O2O3=O1O3=1m ，显然O2O3∥l，
∴O1C⊥O2O3，∴O2B=BO3，即
∴
显然
，∴
．
故其最高点到地面的距离是
．
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