| 正多边形和圆 |
主编：黄冈中学数学集体备课组
知识点归纳
1. 正多边形
①定义：各边相等，各角也相等的多边形，叫做正多边形；
②定义中两个条件缺一不可．
我们知道三边相等的三角形是正三角形，三个角相等的三角形也是正三角形．但菱形四条边相等，却不是正四边形．矩形四角都相等，也不是正四边形．所以正多边形的定义中各边相等和各角相等两个条件缺一不可．
2. 正多边形与圆的关系
把一个圆分成相等的一些弧，就可以得到这个圆的内接正多边形，这个圆是这个多边形的外接圆．
3、正多边形中各元素间的关系
一个正多边形的外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心．外接圆的半径叫做正多边形的半径．正多边形每一边所对的圆心角叫做正多边形的中心角．中心到正多边形的一边的距离叫做正多边形的边心距．如图，设正多边形的边长为an，半径为R，边心距为rn，中心角为αn，则它们有如下关系：
；
正n边形的中心角
；（视频中应为
）
正n边形的周长Pn=nan；
正n边形的面积
．
4、正多边形有关计算
在解决有关正多边形计算时，通常运用转化的思想方法，将正多边形的有关计算化为一个边长分别是正多边形的半径、正多边形边长的一半，正多边形的边心距的直角三角形来解决.
5、正多边形的对称性
①多边形都是轴对称图形，当边数为偶数时，它的对称轴是每一边的垂直平分线和正多边形的边心距所在的直线，当边数为奇数时，它的对称轴是边心距所在的直线；
②只有正偶边形才是中心对称图形；
③正n边形绕着它的中心每旋转
就与它本身重合．
典例讲解
例1、填空题
1. 如图，小颖同学在手工制作中，把一个边长为12cm的等边三角形纸片贴到一个圆形的纸片上，若三角形的三个顶点恰好都在这个圆上，则该圆的半径为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：D
2. 正六边形两条平行边间的距离是1，则它的边长为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：C
3. 已知正三角形的边长为2，则它的内切圆和外接圆组成的圆环面积为（ ）
A.
B.
C.
D.
答案：B
4. 边长为a的正三角形的边心距、半径和高之比为（ ）
A.1∶2∶3 B.
C.
D.
答案：A
例2、如图，圆内接正六边形ABCDEF中，对角线BD、EC相交于点G，求∠BGC的度数.
解：
正六边形ABCDEF中DC=DE，
,
∴
，
同理可证：∠2=
，∴∠BGC=∠1＋∠2=
．
例3、如图，已知正三角形ABC外接圆的半径为R，求正三角形ABC的边长、边心距、周长和面积．
思路点拨：
过中心向正多边形的边作垂线得到Rt△OCH，在Rt△OCH中包含了中心角的一半、边心距、半径、边长的一半等基本元素．
解：
连接OB、OC，作OH⊥BC于H．
例4、如图，正方形的边长为4cm，剪去四个角后成为一个正八边形，求这个正八边形的边长和面积.
解：
由题意知PD＝PE＝FQ
设PD＝PE＝FQ＝xcm，则EF＝ED＝(4－2x)cm，
∵∠P=90°,由勾股定理ED=
,
∴
，
∴正八边形的边长为4－2x=
cm，
面积为
.
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